7.8空间几何体中求距离（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
7.8 空间几何体中求距离
【题型解读】
【知识必备】
1．点到直线的距离
如图，已知直线 l的单位方向向量为 u，A是直线 l上的定点，P是直线 l外一点，设AP＝a，则向量AP在
直线 l上的投影向量AQ＝(a·u)u，在 Rt△APQ 中，由勾股定理，得 PQ＝＝.
2．点到平面的距离
如图，已知平面 α的法向量为 n，A是平面 α内的定点，P是平面 α外一点．过点 P作平面 α的垂线 l，交
平面 α于点 Q，则 n是直线 l的方向向量，且点 P到平面 α的距离就是AP在直线 l上的投影向量QP的长度，
因此 PQ＝＝＝.
【题型精讲】
【题型一 点线距】
例1 （2022·陕西安康·高三期末）在棱长为 1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直
线 的距离为（ ）
A．B．1 C．D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得 ， ， ，
， ，
所以 在 上的投影为 ，
所以点 到直线 的距离为 故选：B
例2 （2022·江苏南通市高三模拟）如图，在棱长为 4的正方体 中，E为BC 的中点，点
P在线段 上，点 Р到直线 的距离的最小值为_______.
【答案】
【解析】在正方体 中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
因点 P在线段 上，则 ， ，
，向量 在向量 上投影长为 ，
而 ，则点 Р到直线 的距离
，当且仅当 时取“=”，
所以点 Р到直线 的距离的最小值为 .
故答案为：
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）设 为矩形 所在平面外的一点，直线 平面 ， ，
， .求点 到直线 的距离.
【答案】 .
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