7.7空间几何体中求夹角（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）
7.7 空间几何体中求夹角
【题型解读】
【知识必备】
1．异面直线所成的角
若异面直线 l1，l2所成的角为 θ，其方向向量分别是 u，v，则 cos θ＝|cos〈u，v〉|＝.
2．直线与平面所成的角
如图，直线 AB 与平面 α相交于点 B，设直线 AB 与平面 α所成的角为 θ，直线 AB 的方向向量为 u，平面 α
的法向量为 n，则 sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝.
3．平面与平面的夹角
如图，平面 α与平面 β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90°的二面角称为平面 α与平
面β的夹角．
若平面 α，β的法向量分别是 n1和n2，则平面 α与平面 β的夹角即为向量 n1和n2的夹角或其补角．设平面
α与平面 β的夹角为 θ，则 cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝.
【题型精讲】
【题型一 异面直线所成的角】
技巧方法 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．
例1 （2022·陕西安康·高三期末）在三棱锥 P—ABC 中，PA、PB、PC 两两垂直，且 PA=PB=PC，M、N分别
为AC、AB 的中点，则异面直线 PN 和BM 所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·江苏南通市高三模拟）如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形，并且
， ， 底面 ，已知 ，四边形 的面积为 .
（1）证明：直线 平面 ；
（2）点 为棱 的中点，当直线 与平面 所成的角为 时，求直线 与 所成角的余弦
值.
【跟踪精练】
1. （2022·陕西高三模拟）已知直三棱柱 的所有棱长都相等， 为 的中点，则 与
所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
2. （2022·海原县高三模拟）底面为正三角形的直棱柱 中， ， ， ，
分别为 ， 的中点，则异面直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3. （2022·山西·太原五中高一阶段练习）如图，在直角梯形 中， ， .已知
.将 沿直线 翻折成 ，连接 .当三棱锥 的体积取
得最大值时，异面直线 与 所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥 外接球的体积
为 ，则
a
的值为___________.
【题型二 直线与平面所成的角】
技巧方法 利用空间向量求线面角的解题步骤
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