7.2空间几何体外接球、内切球8大模型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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7.2 空间几何体外接球、内切球 8大模型

【题型解读】

【知识必备】

一、正方体、长方体外接球模型

1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3．补成长方体

（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图 1所示．

（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图 2所示．

（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图 3所示．

（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图 4所示

二、正四面体外接球模型

如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正

方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．

三、直棱柱外接球模型

如图 1，图 2，图 3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；

第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；

第三步：勾股定理：，解出

四、直棱锥外接球

如图，平面，求外接球半径．

解题步骤：

第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球

心；

第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径 (三角形的外接圆直径算法：

利用正弦定理，得 )，；

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：① ；

② ．

五、正棱锥与侧棱相等模型

1．正棱锥外接球半径：．

2．侧棱相等模型：

如图，的射影是的外心

三棱锥的三条侧棱相等

三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．

解题步骤：

第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；

第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：，解出．

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