7.1空间几何体结构特征及计算（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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7.1 空间几何体结构特征及计算

【题型解读】

【知识必备】

1. 空间几何体的结构特征

多面

体

棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形

棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形

棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的

多边形

旋转

体

圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到

圆锥圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到

圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也

可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到

球球可以由半圆或圆绕直径旋转得到

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式 S圆柱侧＝2π rl S圆锥侧＝π rl S圆台侧＝π( r 1＋ r 2) l

3.空间几何体的表面积与体积公式

名称

几何体表面积体积

柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S

底· h

锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底·h

台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h

球S＝4π R 2

V＝πR3

【题型精讲】

【题型一简单几何体的概念】

例1 （2022·全国·高三专题练习）给出下列命题:

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;

②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;

③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;

④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是（）

A. 0B. 1C. 2D. 3

【答案】A

【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;

②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;

③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它

是由两个同底圆锥组成的几何体;

④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

故选：A

例2 （2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）碳 60（）是一种非金属单质，它是由 60 个

碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形

面）组成的封闭的凸多面体，共 32 个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为_______

___.

【答案】

【解析】根据题意，碳（）由个顶点，有个面，

由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，

设正五边形有个，正六边形有个，

则，解得：，所以六元环的个数为个，

故答案为：

【跟踪精练】

1. （2022·青岛高三月考）给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；

③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

④存在每个面都是直角三角形的四面体．

其中正确命题的序号是________．

【答案】②③④

【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等； ②正确，若三棱

锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角； ③正确，因为两个过相对侧

棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥 C1－

ABC，四个面都是直角三角形．

2. （2022·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论

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