6.4.2数列与不等式（针对练习）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第六章数列

6.4.2 数列与不等式（针对练习）

针对练习

针对练习一直接求和证明不等式

1．已知数列的前 n项和为，，，其中 .

(1)记，求证：是等比数列；

(2)设，数列的前 n项和为，求证： .

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的

定义即可证结论.

（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.

(1)

证明：对任意的，，，

时，，解得，

时，因为，，两式相减可得：，即有

，

∴ ，又，则，

因为，，所以，

对任意的，，所以，

因此，是首项和公比均为 3的等比数列

(2)

由（1）得：，则，

，，

两式相减得：，

化简可得：，又，

∴.

2．已知数列的前 n项和为，，， .

(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)记，数列的前 n项和为，证明： .

【答案】(1)证明见解析，

(2)证明见解析

【分析】根据题意变形为，得到，进而根据等比数列的定

义，证得数列为等比数列，结合等比数列的通项公式，求得数列的通项；

（2）由，得到，结合裂项法求得，结合函数的

单调性，即可求解.

(1)

解：当时，由可变形为，

即，即，所以，

又因为，，可得，所以，

所以数列是以 1为首项，为公比的等比数列，

所以，所以数列的通项公式为 .

(2)

解：由，可得，

所以

，

因为，所以，即，

又因为，单调递增，

所以，所以 .

3．已知数列中，，，数列满足 .

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