6.4.1数列与不等式（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）
第六章 数列
6.4.1 数列与不等式（题型战法）
知识梳理
一 关于数列求和的不等式证明
对于这类问题我们都需要先求出和的表达式，所以总的来看分两种情况：
1.可以直接求和：则先求和再通过和的形式或单调性来证明不等式。
2.不能直接求和：则通过放缩，先转换为能求和的形式。
关于放缩：
①考虑放缩的方向；
②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；
③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。
二 数列的恒成立与能成立问题
1.恒成立问题：分参-背口诀
2.能成立问题：分参-背口诀
三 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 n有关的命题，可按下列步骤进行：
归纳奠基→（1）证明当 n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立
归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件，
推出“当n=k+1时命题也成立”
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立.这种证明方法叫做数学
归纳法.
题型战法
题型战法一 直接求和证明不等式
典例 1．已知数列 满足
a1+a2+⋯+an−1−an=−2
(
n⩾2
且
n∈N¿
)
，且 .
(1)求数列 的通项公式;
(2)设数列 的前 项和为 ，求证：
2
3⩽Tn<1
.
变式 1-1．等差数列 中，前三项分别为 ，前 项和为 ，且 .
(1)求 和 的值；
(2)求=
(3)证明:
变式 1-2．已知数列 中， ， （ ， ）．设 ．
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ．证明， ．
变式 1-3．设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，满足 ，已知等比数列
， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）记 ，数列 的前 项和 ．证明：对一切正整数 ， ．
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