6.4.1数列与不等式（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第六章数列

6.4.1 数列与不等式（题型战法）

知识梳理

一关于数列求和的不等式证明

对于这类问题我们都需要先求出和的表达式，所以总的来看分两种情况：

1.可以直接求和：则先求和再通过和的形式或单调性来证明不等式。

2.不能直接求和：则通过放缩，先转换为能求和的形式。

关于放缩：

①考虑放缩的方向；

②放缩后的常见形式：裂项形，等比形，等差形；

③若放缩后超过所证数，则考虑前几项不放缩。

二数列的恒成立与能成立问题

1.恒成立问题：分参-背口诀

2.能成立问题：分参-背口诀

三数学归纳法

一般地，证明一个与正整数 n有关的命题，可按下列步骤进行：

归纳奠基→（1）证明当 n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立

归纳递推→（2）以当“n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”为条件，

推出“当n=k+1时命题也成立”

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n都成立.这种证明方法叫做数学

归纳法.

题型战法

题型战法一直接求和证明不等式

典例 1．已知数列满足

a1+a2+⋯+an−1−an=−2

(

n⩾2

且

n∈N¿

)

，且 .

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列的前项和为，求证：

3⩽Tn<1

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）将已知条件与两式相减，再结合等比数列的定义即可求解；

（2）利用裂项相消求和法求出即可证明.

（1）

解：因为，所以，

两式相减得，

当时，，又，所以，

所以，

所以是首项为 2，公比为 2的等比数列，

所以；

（2）

证明：，

所以，由，得，

所以，

综上， .

变式 1-1．等差数列中，前三项分别为，前项和为，且 .

(1)求和的值；

(2)求=

(3)证明:

【答案】(1) ；.

(2)

(3)见解析

【分析】（1）根据等差数列列式求解出与，代入表示，即可求出；

（2）由（1）求出，再由裂项相消法求；

（3）由（2）知，而，所以，即可证明.

(1)

∵等差数列中，前三项分别为，，，

∴ ，解得，

∴首项，公差．

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