6.3数列求通项6大题型（精讲）（解析版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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6.3 数列求通项 6大题型

【题型解读】

【知识必备】

1. 已知 Sn求an

(1)已知 Sn求an的常用方法是利用 an＝．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向 1：利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1的关系式，再求解．

方向 2：利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1的关系式，再求解．

2.累加法、累乘法求 an

(1)根据形如 an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累加法求出 an－a1与n

的关系式，进而得到 an的通项公式．

(2)根据形如 an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求积的函数)的递推关系式求通项公式时，常用累乘法求出与 n的关系

式，进而得到 an的通项公式．

3.构造法求 an

观察题干给出的递推关系构造新的等差、等比数列求.

4.分奇偶求 an

【题型精讲】

【题型一　由数列的前 n项和 Sn求an 】

方法技巧已知 Sn求an

(1)已知 Sn求an的常用方法是利用 an＝转化为关于 an的关系式，再求通项公式．

(2)Sn与an关系问题的求解思路

方向 1：利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn－1的关系式，再求解．

方向 2：利用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含 an，an－1的关系式，再求解．

例1　（2022·四川·什邡中学模拟）数列的前项和，则它的通项公式是_______．

【答案】

【解析】

【分析】根据即可求出结果.

【详解】当时，，

当时，

经检验当时不符合，

所以，

故答案为：，

例2　（2022·全国·高三阶段练习）已知数列满足，，则

数列的通项公式为___________.

【答案】

【解析】当时， .

当时，，①

.②

① ②，得 .

因为不满足上式，所以

故答案为：

例3　（2022·上海市七宝中学）设数列的前项和为，若，，则的

通项公式为__________．

【答案】

【解析】由得：，即，

又，数列是以为首项，为公比的等比数列，；

当时，；

经检验：不满足；

故答案为： .

例4　（2022·全国·高三月考）已知各项均为正数的数列的前项和为，且

，求数列的通项公式。

【答案】

【解析】当时，，即，解得或（舍）.

当时，，，

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