6.2等比数列5大题型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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6.2 等比数列 5大题型
【题型解读】
【知识储备】
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2
项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数(不为零)，那么这
个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q
为非零常数)．
(2)等比中项：如果在 a与b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G
叫做 a与b的等比中项，
此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1q n
－
1
.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数 m，n，p，t，若 m＋n＝p＋t，则 am· a n＝ap· a t.
特别地，若 m＋n＝2p，则 am· a n＝ a .
(3)若等比数列前 n项和为 Sn，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且 q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，
公比为 q k
.
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
【题型精讲】
【题型一　等比数列基本量的运算】
必备技巧 等比数列运算的技巧
(1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项 a1和公比 q为
基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．
(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整
体代换，如 qn，都可看作一个整体．
(3)在解决与前 n项和有关的问题时，首先要对公比 q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分
类讨论．
例1　（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三阶段练习）等比数列 中， ，
．则 的公比 q为（ ）
A．2 B．2或 C． D．3
例2　（2022·河南信阳市高三模拟）已知正项数列 满足 ， 的前 项和为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【题型精练】
1. （2022·全国·高三专题练习）记 为正项等比数列 的前 项和，若 ， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
2.（全国 2 卷）数列 中， ， ，若 ，则 （ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3. （2022·江西·新余四中模拟）已知 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则公比 （
）
A. B.
C. 或1D. 或1
4.（新全国 1 山东）已知公比大于 的等比数列 满足 ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 在区间 中的项的个数，求数列 的前 项和 ．
【题型二　等比数列的性质及应用】
必备技巧 等比数列的性质
(1)．若 m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则 am·an＝ap·aq＝a.
(2)．若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(3)．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，
公比为 qk.
(4)．{an}为等比数列，若 a1·a2·…·an＝Tn，则 Tn，，，…成等比数列．
(5)．当 q≠0，q≠1时，Sn＝k－k·qn(k≠0)是{an}成等比数列的充要条件，此时 k＝.
(6)．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平
方．
例3　(1) （2022·辽宁沈阳·三模）在等比数列 中， 为方程 的两根，则 的
值为（ ）
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