6.1等差数列6大题型（精讲）（原卷版）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）

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6.1 等差数列 6大题型

【题型解读】

【知识储备】

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第 2

项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等

差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 d

表示，定义表达式为 an－an－1＝d(常数 )

(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．

(2)等差中项

若三个数，a，A，b成等差数列，则 A叫做 a与b的等差中项，且有 A＝.

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋ ( n － 1) d .

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.

3．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋( n － m ) d (n，m∈N*)．

(2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋ a l＝ a m＋ a n.

(3)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 md

的等差数列．

(4)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．

(5)S2n－1＝(2n－1)an.

(6)等差数列{an}的前 n项和为 Sn，为等差数列．

【题型精讲】

【题型一　等差数列基本量的运算】

必备技巧等差数列中的基本计算

等差数列的通项公式和前 n项和公式中有五个量 a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是

利用公式列出基本量 a1和d的方程组，解出 a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．

例1　（2022·四川遂宁市高三期末）已知等差数列满足，则它的前 8 项的

和（）

A．70 B． C． D．105

例2　（2022·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，则的通项

公式为_____________

例3　（2022·江西高三模拟）设等差数列的前项和为，，则（）

A．56 B．63 C．67 D．72

例4　（2022·山东高三模拟）在数列{an}中，若 a1＝－2，且对任意的 n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列

{an}前10 项的和为(　　)

A．2 B．10 C. D.

【题型精练】

1. （2022·广东潮州·高三期末）等差数列的前 n项和，若的值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

2. （2022·江苏苏州·高三期末）记为等差数列的前项和，若，则（）

A．B．C．D．

3. （2022·河南高三模拟）已知等差数列的前项和为，若，，则的公差为

（）

A．4 B．3 C．2 D．1

4. （2022·广东汕头市·高三二模）已知数列中各项为非负数，，，若数列为

等差数列，则（）

A．169 B．144 C．12 D．13

【题型二　等差数列的性质及应用】

必备技巧等差数列的性质

1.在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋ a q.

2．若数列{an}是公差为 d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.

3．设等差数列{an}的公差为 d，Sn为其前 n项和，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为

m 2

d .

4．若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)，S

偶－S奇＝nd，＝.

5．若等差数列{an}的项数为 2n＋1，则 S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.

例5　（2022·黑龙江哈尔滨市模拟）是等差数列的前项和，，，则

（）

A．9 B．16 C．20 D．27

例6　（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前 n项和为，若，则

（）

A．8 B．12 C．14 D．20

例7　（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则( )

A．B．

C．D．

例8　（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是等差数列，的前 n项和，且

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