5.4三角形四心和奔驰定理（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）
5.4 三角形四心和奔驰定理
【题型解读】
【题型一 三角形的重心】
1.（2022·河南高三月考）设 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点 P满足
， ，则 P的轨迹一定通过 的（1111111）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，记 BC 中点为 D，则 ，因为
，所以点 P的轨迹为射线 AD，所以 P的轨迹一定通过 的重心.
故选：C
2.（2022·陕西·交大附中模拟预测）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ， 为 内
一点，若分别满足下列四个条件：
① ，② ，
③ ，④
则点 分别为 的
A．外心、内心、垂心、重心 B．内心、外心、垂心、重心
C．垂心、内心、重心、外心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】D
3. （2022·山东·山师附中模拟预测）在△ABC 中， ，O为△ABC 的重心，若 ，
则△ABC 外接圆的半径为（1111111）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，即 .
因为 O为△ABC 的重心，且 ，
所以△ABC 为等边三角形.
因为 ，
所以 .
因为 ，
所以△ABC 外接圆的半径为 .
故选：B
4. （2022·云南玉溪·高三月考）在△ABC 中，AB＝1，∠ABC＝60°，·＝－1，若 O是△ABC 的重心，
则·＝________.
【答案】5
【解析】如图所示，以 B为坐标原点，BC 所在直线为 x轴，建立平面直角坐标系．
∵AB＝1，∠ABC＝60°，
∴.设C(a，0)．∵ ·＝－1，所以 ，解得 a
＝4.
∵O是△ABC 的重心，延长 BO 交AC 于点 D，所以
.
故答案为：5.
【题型二 三角形的内心】
1.（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测） 中，a､b､c分别是 BC､AC､AB 的长度，若
，则 O是 的（1111111）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】
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