5.4三角形四心和奔驰定理（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）
5.4 三角形四心和奔驰定理
【题型解读】
【知识必备】
一、三角形的“重心”
1、重心的定义：中线的交点，重心将中线长度分成
2 : 1
三角形中线向量式：
⃗
AM=1
2(
⃗
AB+
⃗
AC)
2、重心的性质：
（1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。
（2）重心和三角形 3个顶点组成的 3个三角形面积相等。
（3）在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即
(
xA+xB+xC
3,yA+yB+yC
3
)
.
3、常见重心向量式：设
O
是
∆ ABC
的重心，
P
为平面内任意一点
①
⃗
OA +
⃗
OB+
⃗
OC =
⃗
0
②
⃗
PO=1
3
(
⃗
PA+
⃗
PB+
⃗
PC
)
③若
⃗
AP=λ
(
⃗
AB+
⃗
AC
)
或
⃗
OP=
⃗
OA+λ
(
⃗
AB+
⃗
AC
)
，
λ∈¿
，则
P
一定经过三角形的重心
④若
⃗
AP=λ
(
⃗
AB
|
⃗
AB
|
sinB +
⃗
AC
|
⃗
AC
|
sinC
)
或
⃗
OP=
⃗
OA+λ
(
⃗
AB
|
⃗
AB
|
sinB +
⃗
AC
|
⃗
AC
|
sinC
)
，
λ∈¿
，则
P
一定经过三角
形的重心
二、三角形的“垂心”
1、垂心的定义：高的交点。
锐角三角形的垂心在三角形内；
直角三角形的垂心在直角顶点上；
钝角三角形的垂心在三角形外。
2、常见垂心向量式：
O
是
∆ ABC
的垂心，则有以下结论：
1、
⃗
OA ∙
⃗
OB=
⃗
OB ∙
⃗
OC=
⃗
OC ∙
⃗
OA
O
A
B
C
2、
|
⃗
OA
|
2+
|
⃗
BC
|
2=
|
⃗
OB
|
2+
|
⃗
CA
|
2=
|
⃗
OC
|
2+
|
⃗
AB
|
2
3、动点
P
满足
⃗
OP=
⃗
OA+λ
(
⃗
AB
|
⃗
AB
|
cosB +
⃗
AC
|
⃗
AC
|
cosC
)
，
λ∈
(
0,+∞
)
，则动点
P
的轨迹一定通过
∆ ABC
的垂
心
4、奔驰定理推论：
S∆ BOC :S∆COA :S∆ AOB=tanA :tanB :tanC
，
tanA ∙
⃗
OA+tanB ∙
⃗
OB+tanC ∙
⃗
OC =
⃗
0
.
三、三角形的“内心”
1、内心的定义：角平分线的交点(或内切圆的圆心)。
2、常见内心向量式：
P
是
∆ ABC
的内心，
（1）
|
⃗
AB
|
⃗
PC+
|
⃗
BC
|
⃗
PA+
|
⃗
CA
|
⃗
PB=
⃗
0
（或
a
⃗
PA+b
⃗
PB+c
⃗
PC=
⃗
0
）
其中
a
，
b
，
c
分别是
∆ ABC
的三边
BC
、
AC
、
AB
的长，
（2）
⃗
AP=λ
(
⃗
AB
|
⃗
AB
|
+
⃗
AC
|
⃗
AC
|
)
，
λ¿
，则
P
一定经过三角形的内心。
四、三角形的“外心”
1、外心的定义：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心
到三角形三个顶点的距离相等
2、常用外心向量式：
O
是
∆ ABC
的外心，
1、
|
⃗
OA
|
=
|
⃗
OB
|
=
|
⃗
OC
|
⟺
⃗
OA 2=
⃗
OB2=
⃗
OC2
2、
(
⃗
OA+
⃗
OB
)
∙
⃗
AB=
(
⃗
OB +
⃗
OC
)
∙
⃗
BC=
(
⃗
OA +
⃗
OC
)
∙
⃗
AC=0
3、动点
P
满足
⃗
OP=
⃗
OB+
⃗
OC
2+λ
(
⃗
AB
|
⃗
AB
|
cos B+
⃗
AC
|
⃗
AC
|
cosC
)
，
λ∈
(
0,+∞
)
，
则动点
P
的轨迹一定通过
∆ ABC
的外心.
4、若
(
⃗
OA+
⃗
OB
)
∙
⃗
AB=
(
⃗
OB +
⃗
OC
)
∙
⃗
BC=
(
⃗
OC +
⃗
OA
)
∙
⃗
CA=0
，则
O
是
∆ ABC
的外心.
五、奔驰定理：
O
是
Δ ABC
内的一点，且
x ∙
⃗
OA+y ∙
⃗
OB +z∙
⃗
OC=
⃗
0
，
则
S∆ BOC :S∆ COA :S△AOB=x:y:z
证明过程：已知
O
是
Δ ABC
内的一点，
∆ BOC
，
∆ COA
，
∆ AOB
的面积分别为
SA
，
SB
，
SC
，
求证：
SA∙
⃗
OA +SB∙
⃗
OB+SC∙
⃗
OC=
⃗
0
.
延长
OA
与
BC
边相交于点
D
，
则
BD
DC =S∆ ABD
S∆ ACD
=S∆ BOD
S∆ COD
=S∆ ABD−S∆ BOD
S∆ ACD−S∆ COD
=SC
SB
，
⃗
OD=DC
BC
⃗
OB+BD
BC
⃗
OC =SB
SB+SC
⃗
OB +SC
SB+SC
⃗
OC
，
∵
OD
OA =SBOD
SBOA
=SCOD
SCOA
=SBOD+SCOD
SBOA+SCOA
=SA
SB+SC
，
D
O
A
B
C
∴
⃗
OD=−SA
SB+SC
⃗
OA
，
∴
−SA
SB+SC
⃗
OA=SB
SB+SC
⃗
OB+SC
SB+SC
⃗
OC
，
所以
SA∙
⃗
OA +SB∙
⃗
OB+SC∙
⃗
OC=
⃗
0
.
奔驰定理推论：
x ∙
⃗
OA +y ∙
⃗
OB+z ∙
⃗
OC=
⃗
0
，则
①
S∆ BOC :S∆ COA :S△AOB=
|
x
|
:
|
y
|
:
|
z
|
②
S∆ BOC
S∆ ABC
=
|
x
x+y+z
|
，
S∆ AOC
S∆ ABC
=
|
y
x+y+z
|
，
S∆ AOB
S∆ ABC
=
|
z
x+y+z
|
.
【题型精讲】
【题型一 三角形的重心】
必备技巧 三角形的重心
三角形的重心一定在三角形的中线上，所以，在等式中显示出的现象是两个相加的向量，前面的系数相同 ，
还需注意两个系数相同的向量相加的同时还会产生中点．
例1（2022·河南高三月考）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点 P的轨迹一定经过 的（ƒƒƒƒƒƒƒ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知 A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点 P满足
OP＝[(1－λ)OA＋(1－λ)OB＋(1＋2λ)·OC]，λ∈R，则点 P的轨迹一定经过( )
A．△ABC 的内心 B．△ABC 的垂心 C．△ABC 的重心 D．AB 边的中点
【跟踪精练】
1. （2022·山东·山师附中模拟预测）已知点 P是 的重心，则下列结论正确的是（ƒƒƒƒƒƒƒ）
A．
B．
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