5.3等和线和极化恒等式（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 25 4 361.67KB 7 页 3知币
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5.3 等和线和极化恒等式
【题型解读】
【题型一 根据等和线求基底系数和的值】
1.（2022·河南高三月考）在△ABC 中，M为边 BC 上任意一点，N为AM 的中点，AN＝λAB＋μAC，则 λ
＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．　　　　　　　　D．1
【答案】A　
【解析】如图，BC 为值是 1的等和线，过 N作BC 的平行线，设 λ＋μ＝k，则 k＝．由图易知，＝，故选
A．
C
A
BM
N
2.（2022·陕西·交大附中模拟预测）在梯形 ABCD 中，已知 AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为 CD，BC 的
中点．若AB＝λAM＋μAN，则 λ＋μ的值为(　　)
A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D．
【答案】C　
【解析】如图，连接 MN 并延长，交 AB 的延长线于点 T，则 MT 为值是 1的等和线，设 λ＋μ＝k，则 k＝．
由图易知，＝，故选 C．
DC
N
A B T
M
3. （2022·山东·山师附中模拟预测）在平行四边形 ABCD 中，AC 与BD 相交于点 O，点 E是线段 OD 的中
点，AE 的延长线与 CD 交于点 F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则 λ＋μ等于(　　)
A．1　　　　　　　　B．
　　　　　　　　
C．
　　　　　　　　
D．
【答案】A　
【解析】如图，作AG＝BD，延长 CD 与AG 相交于 G，因为 C，F，G三点共线，所以 λ＋μ＝1．故选 A．
4. （2022·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC 中，D，F分别是 AB，AC 的中点，BF 与CD 交于
点O，设AB＝a，AC＝b，向量AO＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．
【答案】　
【解析】图，BC 为值是 1的等和线，过 O作BC 的平行线，设 λ＋μ＝k，则 k＝．由图易知，＝．
【题型二 根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】
1.（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为 3的平面向量 和 ，它们的夹角为
120°，如图所示,点C在以 O为圆心的圆弧 上运动，若 ，其中 ，则 的
最大值是_____； 的最大值是______.
B
O
A
C
【答案】
【解析】（1）AB 交CO 于D，设 ,，易证
，当 时， 取最大值， ；
（2）取 OA 中点 E，则
OC 交BE 于F，设 ,，易证
B
A
C
F
E
B
O
A
C
，当 时， 取最大值， .
2.（2022·福建泉州·模拟预测）如图，在正六边形 ABCDEF 中，P是△CDE 内(包括边界)的动点，设AP＝
αAB＋βAF(α，β∈R)，则 α＋β的取值范围是________．
【答案】　[3，4]　
【解析】直线 BF 为k＝1的等和线，当 P在△CDE 内时，直线 EC 是最近的等和线，过 D点的等和线是最
远的，所以 α＋β∈[，]＝[3，4]．
3. （2022·全国·高三课时练习）如图，在正方形 ABCD 中，E为BC 的中点，P是以 AB 为直径的半圆弧上任
意一点，设 ，则 2x+y 的最小值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
E
A
B
D
C
P
【答案】
【解析】取 AD 中点 F，则
直线 FP 交AE 于G， 设
∵ FPG 三点共线 ∴
当P在中点时，G与E重合，此时 t取到最小值，
G
F
E
A
B
D
C
P
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