5.3等和线和极化恒等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）
5.3 等和线和极化恒等式
【题型解读】
【知识必备】
1.三点共线结论：已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然
证明
若点 A,B,C 互不重合，P是A,B,C 三点所在平面上的任意一点，且 ，证明：A，B，C三点
共线是 的充要条件.
证明:(1)由A，B，C三点共线.由 得
.
即 ， 共线，故 A，B，C三点共线.
(2)由A，B，C三点共线 .
由A，B，C三点共线得 ， 共线，即存在实数 使得 .
故.令 ，则有 .
2. 等和线相关性质
平面内一组基底
⃗
OA ,
⃗
OB
及任一向量
⃗
OP
，
⃗
OP=λ
⃗
OA +μ
⃗
OB
，若点 p在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线
上，则
λ+μ=k
（定值），反之也成立，我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为等和线。
A
B
P
C
（1）.当等和线恰为直线 AB 时，k等于 1.
(2).定值 k的变化与等和线到 O点的距离成正比.
3.极化恒等式：a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2]
（1）公式推导：
（2）几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角
线”平方差的
．
D
B
C
Aa
b
a＋b
a
－
b
4.三角形模式：如图，在△ABC 中，设 D为BC 的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．
（1）推导过程：由 .
D
BC
A
图(2)
（2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决．
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差．
【题型精讲】
【题型一 根据等和线求基底系数和的值】
必备技巧 根据等和线求基底系数和的值
(1)确定值为 1 的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)计算满足条件的等和线的值．
例1（2022·河南高三月考）在平行四边形中 ABCD 中，E和F分别是 CD 和BC 边上的中点，且
,其中 ，则 ___________.
例2 （2022·陕西·交大附中模拟预测）在平行四边形 ABCD 中，点 E和F分别是边 CD 和BC 的中点．若
AC＝λAE＋μAF，其中 λ，μ∈R，则 λ＋μ＝__________．
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