5.3导数的应用（分层练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）（解析版）

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5.3 导数的应用（分层练习）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022 春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）函数 的导函数 的图像如图所示，则下
列说法正确的是（）
A． 的极小值点为 ， B． 的极大值点为
C． 有唯一的极小值 D．函数 在 上的极值点的个数为
【答案】D
【分析】根据图象直接判断即可.
【详解】由图像可知， 的极小值点为 ，极大值点为 ，故 A，B选项错误；
， 为 的极小值点，故 C错误；
由极值点的概念知函数 在 上的极值点是 ， ，个数为 2，D正确；
故选：D.
2．（2023·上海·高三专题练习）下列函数中，与函数 的奇偶性和单调性都一致的函数是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案.
【详解】容易判断 是奇函数，且在 R上是增函数，而 是偶函数， 在 R
上不是增函数，所以排除 A,C,D.
对B，函数 是奇函数，且 ，则函数在 R上是增函数.
故选：B.
二、填空题
3．（2022 春·上海金山·高二上海市金山中学校考期末）如图是函数 的导函数 的图象：
①函数 在区间 上严格递减；
② ；
③函数 在 处取极大值；
④函数 在区间 内有两个极小值点．
则上述说法正确的是______．
【答案】②④
【分析】根据导函数图象分析得到函数的单调性，进而判断是否为极值点，比较出函数值的大小，判断出
正确答案.
【详解】由导函数 的图象可知：函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故
，故①错误，②正确；
由导函数的图象可知： 在 上均单调递增，故 不是函数的极大值点，③错误；
由导函数图象可得：在区间 内有 ，且在 与 上导函数小于 0，在
和 上导函数大于 0，
故 和 为函数的两个极小值点，故在区间 内有两个极小值点，④正确.
故答案为：②④
4．（2022 秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数 在区间 上不单调，
则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】由于函数 在区间 上不单调，等价于函数 在区间 上存在极值点，对函数 求导，
对 分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间 内，可得关于 的不等式，即可求出结果．
【详解】由 .
①当 时，函数 单调递增，不合题意；
②当 时，函数 的极值点为 ，
若函数 在区间 不单调，必有 ，解得 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：由于函数 在区间 上不单调，等价于函数 在区间 上存在极值点，这
是解决本题的关键点和突破点.
5．（2022 春·上海闵行·高二闵行中学校考期末）已知函数 ， ，若存在三个互不相
等的实数 m、n、p，使得 ，则实数 a的取值范围是______．
【答案】
【分析】求出 的极大值和极小值后可得．
【详解】 ，
由 得 ，
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