5.3.2.1 函数的极值-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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5.3.2.1　函数的极值
【考点梳理】
知识点一　函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点 x＝a附近的左
侧f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，就把 a
叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f ( a ) 叫做函数 y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点 x＝b附近的左
侧f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，就把 b
叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f ( b ) 叫做函数 y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
知识点二　函数极值的求法与步骤
1．求函数 y＝f(x)的极值的方法
解方程 f′(x)＝0，当 f′(x0)＝0时，
(1)如果在 x0附近的左侧 f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，那么 f(x0)是极大值；
(2)如果在 x0附近的左侧 f′(x)<0，右侧 f′(x)>0，那么 f(x0)是极小值．
2．求可导函数 f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数 f′(x)；
(2)求方程 f ′ ( x ) ＝ 0
的根；
(3)列表；
(4)利用 f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
【题型归纳】
题型一：求函数的极值
1．（2022 秋·山东淄博·高二统考期末）已知 是函数 的极小值点，则 的极大值为
（ ）
A．B．C．D．
2．（2022 秋·浙江·高二校联考期中）已知函数 ，满足 ．
(1)求实数 a的值；
(2)求 的单调区间和极值．
3．（2022 秋·贵州黔西·高二校考阶段练习）已知函数 当 时， 取得极值 .
(1)求函数 的解析式；
(2)求函数 的单调区间和极大值.
题型二：由极值求参数
4．（2022 秋·四川资阳·高二校考期中）函数 在 处有极值为 ，那么 ， 的值为
（ ）
A． ， B． ，
C． ， 或 ， D． ，
5．（2022 秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知函数 有极值，则 的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．（2022 秋·山西太原·高二太原市外国语学校校考阶段练习）若函数 在 处有极值
10，则 （ ）
A．6 B．C． 或 15 D．6或
题型三：由极值点求参数的值或取值范围
7．（2022 秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知 没有极值，则
实数 的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022 秋·北京·高二北京市第三十五中学校考期中）已知函数 既有极大值，
又有极小值，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或
C．D．
9．（2022 秋·北京房山·高二北京市房山区房山中学校考期中）已知函数 有极大值和极小值，
则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：导数（导函数）图像与极值或极值点的关系
10．（2022 秋·广东佛山·高二佛山市第四中学校考期末）设函数 的导函数为 ， 的部分图象如
图所示，则（ ）
A．函数 在 上单调递增
B．函数 在 上单调递增
C．函数 在 处取得极小值
D．函数 在 处取得极大值
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