5.2平面向量的数量积及应用（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

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5.2 平面向量的数量积及应用

【题型解读】

【知识必备】

1．两个向量的夹角

已知两个非零向量 a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a与b的夹角，记作< a，b>．当

θ＝0°时，a与b同向；当 θ＝180°时，a与b反向；当 θ＝90°时，则称向量 a与b垂直，记作 a⊥b.

2．平面向量的数量积

已知两个向量 a和b，它们的夹角为 θ，我们把|a||b|cos θ叫作 a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|

a||b|cos θ.

3．平面向量数量积的几何意义

数量积 a·b 等于 a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积或 b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ

的乘积．

注意：b在a方向上的投影为|b|cos θ＝，而 a在b方向上的投影为|a|cos θ＝，投影是一个数量，它可以为正，

可以为负，也可以为 0.

4．平面向量数量积的重要性质

(1) a⊥b⇔a·b＝0；

(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当 a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝；

(3)cos θ＝；

5．平面向量数量积的坐标运算

设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

(1) a·b＝x1x2＋y1y2， (2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝. (3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

(4) cos θ＝

【题型精讲】

【题型一平面向量数量积的计算】

必备技巧求平面向量数量积的方法

（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，

否则，要通过平移使两向量符合以上条件.

（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.

例1（2022·河南高三月考）（1）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，

点E和F分别在线段 BC 和DC 上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________．

（2）．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E是AB 边上的动点，则DE·CB的值为__________；DE·DC的最

大值为________．

例2 （2021·北京高考真题），，，则 _______；_______．

【跟踪精练】

1. （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形中，，

则值为__________．

2. （2022·云南玉溪·高三月考）已知中，，，点是线段的中点，则

______．

【题型二利用数量积求模长】

必备技巧利用数量积求模长

(1)没有向量坐标时，求解向量模的问题就是要灵活应用 a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方.．

(2)有向量坐标时，|a|2＝x12＋y12或|a|＝．

例3（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知平面向量，满足，，且与的夹角

为，则（ŠŠŠŠŠŠŠ）

A．B．C．D．3

例4（2022·福建泉州·模拟预测）已知向量 ,，若的夹角为，则 =___________.

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