5.2平面向量的数量积及应用（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 31 4 545.24KB 12 页 3知币
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5.2 平面向量的数量积及应用
【题型解读】
【知识必备】
1．两个向量的夹角
已知两个非零向量 a和b，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量 a与b的夹角，记作< a，b>．当
θ＝0°时，a与b同向；当 θ＝180°时，a与b反向；当 θ＝90°时，则称向量 a与b垂直，记作 a⊥b.
2．平面向量的数量积
已知两个向量 a和b，它们的夹角为 θ，我们把|a||b|cos θ叫作 a与b的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|
a||b|cos θ.
3．平面向量数量积的几何意义
数量积 a·b 等于 a的长度|a|与b在a方向上的射影|b|cos θ的乘积或 b的长度|b|与a在b方向上的射影|a|cos θ
的乘积．
注意：b在a方向上的投影为|b|cos θ＝，而 a在b方向上的投影为|a|cos θ＝，投影是一个数量，它可以为正，
可以为负，也可以为 0.
4．平面向量数量积的重要性质
(1) a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a和b同向时，a·b＝|a||b|；当 a和b反向时，a·b＝﹣|a||b|；特别地，a·a ＝|a|2，|a|＝；
(3)cos θ＝；
5．平面向量数量积的坐标运算
设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1) a·b＝x1x2＋y1y2， (2) |a|2＝x12＋y12或|a|＝. (3) a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4) cos θ＝
【题型精讲】
【题型一 平面向量数量积的计算】
必备技巧 求平面向量数量积的方法
（1）没有向量坐标时，计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，
否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
（2）有坐标时，a·b＝x1x2＋y1y2，.
例1（2022·河南高三月考）（1）在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，
点E和F分别在线段 BC 和DC 上，且BE＝BC，DF＝DC，则AE·AF的值为________．
（2）．已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E是AB 边上的动点，则DE·CB的值为__________；DE·DC的最
大值为________．
【答案】：　1．　 2．1　1
【解析】：1．法一　取BA，BC为一组基底，
则AE＝BE－BA＝BC－BA，AF＝AB＋BC＋CF＝－BA＋BC＋BA＝－BA＋BC，
∴AE·AF＝
BCBABABC 12
7
3
2
＝|
BA
|
2
－BA·BC＋|BC|2
＝×4－×2×1×＋＝．
法二 CO⊥AB 于O，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A
0,
2
3
，B
0,
2
1
，
C
2
3
,0
，D
2
3
,1
，
所以 E
，F
2
3
,
6
5
，
所以AE·AF＝
2
3
,
3
2
3
3
,
3
5
＝＋＝．
2．法一　如图，DE·CB＝(DA＋AE)·CB
＝DA·CB＋AE·CB＝DA2＝1，DE·DC＝(DA＋AE)·DC
＝DA·DC＋AE·DC
＝AE·DC＝|AE|·|DC|≤|DC|2＝1．
法二　以射线 AB，AD 为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，
则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，
设E(t，0)，t∈[0，1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，
－1)·(0，－1)＝1．
因为DC＝(1，0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1，0)＝t≤1，
故DE·DC的最大值为 1．
法三　由图知，无论 E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是 CB＝1，
∴DE·CB＝|CB|·1＝1．
当E运 动 到 B点 时 ， DE 在DC 方 向 上 的 投 影 最 大 即 为 DC ＝
1，∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1．
例2 （2021·北京高考真题） ， ， ，则 _______；_______．
【答案】0 3
【解析】 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
【跟踪精练】
1. （2022·陕西·交大附中模拟预测）已知在平行四边形 中， ，
则 值为__________．
【答案】
【解析】由题设可得如下图： ，而 ，
所以 ，
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