5.1平面向量的概念、线性运算及坐标表示（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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5.1 平面向量的概念、线性运算及坐标表示
【题型解读】
【知识必备】
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 ( 或模 ) ．
(2)零向量：长度为 0
的向量，记作 0.
(3)单位向量：长度等于 1
个单位 长度的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运
算法则(或几何意义)运算律
加法
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘
|λ a|＝|λ||a|，当 λ>0 时，λa的方向与 a的方向相同；
当λ<0 时，λa的方向与 a的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.向量共线定理
向量 a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
4．平面向量基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数
λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
5．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
6．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)，|AB|＝.
7．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中 b≠0，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
【题型精讲】
【题型一　平面向量的基本概念】
必备技巧 向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆．
(4)非零向量 a与的关系：是与 a同方向的单位向量．
例1 　（2022·全国高三专题练习）判断下列四个命题：①若 ，则 ；②若 ，则 ；③
若 ，则 ；④若 ，则 .其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因向量共线，其模不一定相等，方向也不一定相同，即若 ，则 是假命题，①不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同，即若 ，则 是假命题，②不正确；
因模相等的向量，方向不一定相同也不一定相反，即若 ，则 是假命题，③不正确；
由相等向量的定义可知：若 ，则 是真命题，④正确，
所以，正确命题的个数是 1.
故选：A
【跟踪精练】
1. （2022·上海市嘉定区第一中学高三月考）下列说法中正确的是（ ）
A． ；
B．若 、 非零向量且 ，则 ；
C．若 且 ，则 ；
D．若 ，则有且只有一个实数 ，使得 .
【答案】B
【解析】 左边是向量的加法，结果是零向量，用 表示，故 A 错误；
由 、 非零向量且 ，
两边平方可得 ，
即 ，所以 ，故 B 正确；
当 时也有 且 ，故 C 错误；
若 ， ，不存在实数 ，使得 ，故 D 错误．
故选：B．
2. （2022·江苏江苏·一模）给出如下命题：
①向量 的长度与向量 的长度相等；
②向量 与 平行，则 与 的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个公共终点的向量，一定是共线向量；
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