5.1.1平面向量（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）

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第五章 平面向量与复数
5.1.1 平面向量（题型战法）
知识梳理
一 向量的线性运算及性质
1. 向量的加法：向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
2. 向量的减法：
⃗
a−
⃗
b
可以表示为从
⃗
b
的终点指向
⃗
a
的终点的向量
3.向量的数乘：实数 与向量
⃗
a
的积是一个向量，记作
λ
⃗
a
，
4.向量共线定理 ：点 共线的充要条件是
⃗
OP=λ
⃗
OA +μ
⃗
OB ,
且 .
5.平面向量的基底：基底
⃗
e1,
⃗
e2
是一个平面内的两个不共线的非零向量
6.平面向量的坐标运算及性质：若
，则
（1）
⃗
a+
⃗
b=(x1+x2, y1+y2)
；
（2）
⃗
a−
⃗
b=(x1−x2, y1−y2)
；
（3）
λ
⃗
a=(λ x1, λ y1)
，
λ
⃗
b=( λ x2, λ y2)
；
（4）
⃗
a⋅
⃗
b=x1⋅x2+y1⋅y2
；
（5）
|
⃗
a
|
=❑
√
x1
2+y1
2
，
|
⃗
b
|
=❑
√
x2
2+y2
2
；
（6）
⃗
a/¿
⃗
b⇔
⃗
a=λ
⃗
b⇔x1y2−x2y1=0
；
（7）
⃗
a⊥
⃗
b⇔
⃗
a⋅
⃗
b=0⇔x1⋅x2+y1⋅y2=0
。
二 平面向量的数量积
1. 数量积：
⃗
a⋅
⃗
b=
|
⃗
a
|
|
⃗
b
|
cos θ
。
2. 向量的夹角： =
cos ¿
⃗
a ,
⃗
b≥
⃗
a⋅
⃗
b
|
⃗
a
|
⋅
|
⃗
b
|
。
3. 向量的投影：
|
⃗
a
|
cos θ=
⃗
a⋅
⃗
b
|
⃗
b
|
，称为向量
⃗
a
在
⃗
b
方向上的投影。投影的绝对值称为射影。
题型战法
题型战法一 平面向量的实际背景及基本概念
典例 1．下列说法正确的是（）
A．向量 与向量 是相等向量
B．与实数类似，对于两个向量 ， 有 ， ，
⃗
a<
⃗
b
三种关系
C．两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行
D．若两个非零向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合
变式 1-1．下列命题正确的是（）
A．若 ， ，则 B．长度等于 1个单位长度的向量叫作单位向量
C．相等向量的起点必定相同 D．若 ，
|
⃗
b
|
=3
，则
变式 1-2．下列说法正确的是（）
A．若
|
⃗
a
|
=
|
⃗
b
|
，则 B．零向量的长度是 0
C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量
变式 1-3．下列命题中正确的有（）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．若 和 是都是单位向量，则
C．若 ，则 与 的夹角为 0°
D．零向量与任何向量共线
变式 1-4．判断下列各命题的真假：
①向量 和 平行，则 与 的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相
同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型战法二 平面向量的线性运算
典例 2．如图所示，点 E为 的边 AC 中点，F为线段 BE 上靠近点 B的四等分点，则 =
（）
A．B．C．D．
变式 2-1．如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与BD 交于点 O，且 ，则
（）
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