5.1 导数的概念及其意义-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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5.1　导数的概念及其意义
【考点梳理】
大重点一：变化率问题和导数的概念
考点一：瞬时速度的定义
(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为＝.如果 Δt无限趋近于 0时，
无限趋近于某个常数 v，我们就说当 Δt无限趋近于 0时，的极限是 v，这时 v就是物体在时刻 t＝t0时的瞬时速度，
即瞬时速度 v＝lim ＝lim .
考点二　函数的平均变化率
对于函数 y＝f(x)，设自变量 x从x0变化到 x0＋Δx，相应地，函数值 y就从 f(x0)变化到 f(x0＋Δx)．这时，x的变化量
为Δx，y的变化量为 Δy＝f ( x 0＋ Δ x ) － f ( x 0) ． 我们把比值，即＝叫做函数 y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
考点三　函数在某点处的导数
如果当 Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称 y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的
值叫做 y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f ′ ( x 0) 或 ，即 f′(x0)＝lim ＝lim
大重点二：导数的几何意义
考点四　导数的几何意义
1．割线斜率与切线斜率
设函数 y＝f(x)的图象如图所示，直线 AB 是过点 A(x0，f(x0))与点 B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是
＝.
当点 B沿曲线趋近于点 A时，割线 AB 绕点 A转动，它的极限位置为直线 AD，直线 AD 叫做此曲线在点 A处的切
线．于是，当 Δx→0时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A的切线 AD 的斜率 k，即 k＝f ′ ( x 0)＝lim .
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x＝x0处的导数的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线 y＝f(x)
在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率是 f ′ ( x 0) ． 相应地，切线方程为 y － f ( x 0) ＝ f ′ ( x 0)( x － x 0)．
考点五　导函数的定义
从求函数 f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当 x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当 x变化时，y＝f′
(x)就是 x的函数，我们称它为 y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作 f ′ ( x ) 或y ′ ，即 f′(x)＝y′＝lim .
规律总结：
区别 联系
f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值 在 x＝x0处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x)
在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一
点处的导数，一般先求导函数，再计算
f′(x)f′(x)是函数 f(x)在某区间 I上
每一点都存在导数而定义的一
个新函数，是函数 导函数在这一点的函数值
【题型归纳】
题型一：函数的平均变化率
1．（2022 秋·安徽滁州·高二校联考期中）已知函数 ，则 y在 上的平均变化率为（ ）
A．0.82 B．8.2 C．0.41 D．4.1
2．（2021 秋·四川凉山·高二统考期中）已知函数 ，则 从 2到 的平均变化率为（ ）
A．2 B．C．D．
3．（2021·全国·高二专题练习）函数 ， 在[0，2]上的平均变化率分别记为 ， ，则下列结
论正确的是（ ）
A．B．C．D． ， 的大小无法确定
题型二：瞬时变化率理解
4．（2022 秋·江西抚州·高二南城县第二中学校考阶段练习）某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函
数关系式是 （距离单位：米，时间单位：秒），则他在 0.25 秒时的瞬时速度为（　 　）
A．6.75 米/秒B．6.55 米/秒C．5.75 米/秒D．5.55 米/秒
5．（2022 秋·北京海淀·高二校考期中）已知某物体运动的位移 关于时间 的函数为 ，则当
时的瞬时速度是（ ）
A．5m/s B．4m/s C．3m/s D．2m/s
6．（2022 秋·北京大兴·高二统考期中）一个小球从 的高处下落，其位移 （单位： ）与时间 （单位： ）
之间的关系为 ，则 时小球的瞬时速度（单位： ）为（ ）
A．B．C．D．
题型三：导数（导函数）的理解
7．（2022 春·陕西渭南·高二统考期末）设函数 在 处的导数为 2，则 （ ）
A．2 B．1 C．D．6
8．（2022 秋·黑龙江齐齐哈尔·高二统考期末）函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下
列数值排序正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022 秋·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）已知函数 的导函数为 ，且 ，则
（ ）
A．B．C．D．
题型四：导数定义中的极限的简单计算
10．（2022 秋·广西玉林·高二统考期末）设 是定义在 R上的可导函数，若 （a为常
数），则 （ ）
A．B．2aC．D．a
11．（2022 秋·全国·高二期末）设 是定义在 R上的可导函数，若 （ 为常数），
则 （ ）
A．B．C．D．
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