4.9三角形中的最值、范围问题（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 24 4 657.78KB 15 页 3知币
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4.9 三角形中的最值、范围问题
【题型解读】
【题型一　与角有关的最值、范围问题】　
1.（2022·全国·高三课时练习）已知△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 2csin C＝(a＋b)(sin B
－sin A)，则当角 C取得最大值时，B＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由正弦定理得 2c2＝(a＋b)(b－a)，即 b2－a2＝2c2．
又cos C＝
2 2 2
2
a b c
ab
 
＝ ≥ ＝
3
2
.
当且仅当 3a2＝b2，即 b＝a时，cos C取到最小值 ，从而角 C取到最大值
6
.
当b＝a时，3a2－a2＝2c2，则 a＝c．
所以 A＝C＝ ，从而 B＝π－A－C＝
2
3
π．
故选： .
2. （ 2022· 全 国 ·高三专题练习）在
∆ ABC
中，内角
A
、
B
、
的对应边分别为
a
、
b
、
c
.已 知
acosB−bsinB =c
.
（1）若
B=30 °
，求
A
. （2）求
sinA+sinB
的取值范围.
【答案】（1）
A=120°
（2）
(
1,❑
√
2
)
【解析】（1）由正弦定理得：
sinAcosB−sin2B=sinC
，
∵
sin C=sin
[
π−
(
A+B
)
]
=sin
(
A+B
)
，
∴
sin AcosB−sin 2B=sin
(
A+B
)
，
即
sin AcosB−sin 2B=sin AcosB+cosAsinB
，
∴
cos AsinB=−sin2B
，∵
sin B≠ 0
，∴
cos A=−sinB=−sin 30 °=−1
2
，
∵
0<A<180°
，∴
A=120°
（2）由（1）得
co sA=−sinB
，
∴
sin A+sinB=sinA−cosA=❑
√
2 sin
(
A−45 °
)
又
cos A=−sinB=cos
(
90 °+B
)
，∴
A=90 °+B
，
∵
A+B<180 °
，∴
90 °<A<135 °
，∴
45 °<A−45 °<90 °
，
∴
❑
√
2
2<sin
(
A−45 °
)
<1
，∴
1<❑
√
2 sin
(
A−45 °
)
<❑
√
2
，
则
sin A+sinB
的取值范围是
(
1,❑
√
2
)
3． （ 2022· 全国高三单元测试）已知 ， ， 分别为 三个内角 ， ， 的对边，且
，则 的最大值为______．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
因为 ,所以 .
所以
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
即 的最大值为 .
故答案为： .
4．（2022·合肥百花中学高三期末）在 中， ，若
1
2
BC CA 
              
，则 的最大值是___________
_．
【答案】
【解析】解：因为 ，
所以 ，由余弦定理得 ，得
2 2
3a b 
，
由余弦定理可得
当且仅当 , 即 时取等号 , 此时 取得最小值，
根据余弦函数 在 上单调递减可知，此时角 取得最大值为
所以 的最大值是
故答案为 :
5．（2022·全国高三课时练习）在
∆ ABC
中，内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，
∆ ABC
的面积记为
S∆ ABC
，满足
a2+b2−c2=4❑
√
3
3S∆ ABC
．
（1）求
∠C
；
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