4.9三角形中的最值、范围问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 32 4 931.44KB 17 页 3知币
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4.9 三角形中的最值、范围问题
【题型解读】
【知识储备】
三角形中的最值范围问题处理方法
1.利用基本不等式求最值、范围-化角为边
余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最
值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。
2.转为三角函数求最值、范围-化边为角
如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转
化为角的函数，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值、范围问题进行解决。
要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边
【题型精讲】
【题型一　与角有关的最值、范围问题】　
例 1 （2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为
a，b，c．已知 2bsinA－a＝0．
(1)求角 B的大小；
(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．
【解析】(1)由正弦定理，得 2sinBsinA＝sinA，又在△ABC 中，sin A>0，
故sin B＝，由题意得 B＝．
(2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A．由△ABC 是锐角三角形，得 A∈ ．
由cosC＝cos＝－cosA＋sinA，得
cosA＋cosB＋cosC＝sin A＋cos A＋＝sin＋∈．
故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是．
例2 （ 2022· 全 国 ·高 三 专 题 练 习 ） 已 知 中 ， 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 且
．
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1） （2）,
【解析】（1）因为 ，又 ，
所以 ，故 ，由 为三角形的内角得 ；
（2）由（1）知 ，
，
，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ,，
故 的取值范围 ,．
【题型精练】
1．（2022·全国高三单元测试）△ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c.△ABC 的面积为 S，若
.
(1)求角 C；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1) ； (2) .
【解析】
(1)由题设， ，而 ，
所以 ，又 ，
所以 ，又 ，且 ，
所以 且 ，则 .
(2)由（1）， ，
由 ，则 .
所以 ，故 .
2． （ 2022· 合 肥 百 花 中 学 高 三 期 末 ） 已 知 中 ， 角
, ,A B C
的 对 边 分 别 为 .若
，则 的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：∵ ,\
∴ ，
∴由正弦定理得： ，
即 ，
，则 ，
（当且仅当 ，即
时取等号），
的最小值为 .
∵
2 2
sin cos 1A A 
，∴ ，
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