4.8解三角形中的多个三角形问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 23 4 548.23KB 10 页 3知币
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4.8 解三角形中的多个三角形问题
【题型解读】
【知识储备】
一、多三角形问题
多三角形问题是指将一个三角形或者一个四边形切割成若干个三角形，试题重点考察学生对正余弦定理的
掌握情况和转化与划归能力。
在解题过程中，需要学生分析三角形间的公共边、公共角、关系角（补角或余角）等图形特征，利用方程
的思想，利用正余弦定理与三角函数公式结合，才能得到问题的解决。
二、求解多个三角形问题解题思路：
1、求解多个三角形的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型
2、第一步：把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，将数据化归到多个三角形中；
第二步：在各个三角形内利用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形；
第三步：寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件；
第四步：结合三角恒等变换公式进行化简。
【注意】做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，
如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，
要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．
【题型精讲】
【题型一　多三角形中基本量的计算】
例 1 （2022·全国·高三课时练习）在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．
已知 a＝3，c＝，B＝45°．
(1)求sinC的值；
(2)在边 BC 上取一点 D，使得 cos∠ADC＝－，求 tan∠DAC 的值．
【解析】(1)在△ABC 中，因为 a＝3，c＝，B＝45°，由余弦定理 b2＝a2＋c2－2accosB，得
b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，所以 b＝．在△ABC 中，由正弦定理＝，得＝，所以 sinC
＝．
(2)在△ADC 中，因为 cos∠ADC ＝－， 所以∠ADC 为钝角．而∠ADC ＋C＋∠CAD ＝
180°，所以 C为锐角．故 cos C＝＝，则 tanC＝＝．
因为 cos∠ADC＝－，所以 sin∠ADC＝＝，所以 tan∠ADC＝＝－．
从而 tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)
＝－＝－＝．
例2 （2022·全国·高三专题练习）在①
∆ ABC
面积
S∆ ABC =2
，②
∠ADC=π
6
这两个条件中任选一个，补
充在下面问题中，求
AC
.
如图，在平面四边形 中， ， ，______， ，求 .
【答案】见解析
【解析】选择①： 所以 ；
由余弦定理可得
，
所以
选择②：设 ，则 ， ，
在 中 ，即
所以
在 中， ，即 所以 .
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，所以 .
【题型精练】
1．（2022·全国高三单元测试）在平面四边形 ABCD 中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝
2，BD＝5．
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求 BC．
【解析】(1)在△ABD 中，由正弦定理得＝，即＝，所以 sin∠ADB＝．
由题意知，∠ADB＜90°，所以 cos∠ADB＝＝＝．
(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝．在△BCD 中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2
－2BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25，所以 BC＝5．
2．（2022·合肥 百花中学高三期末） 如图 ，四边形 中， ， ， ，
且 为锐角．
（1）求 ；
（2）求 的面积．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由已知 ，
∵ 是锐角，∴ ．
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