4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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4.7 解三角形中的内切圆、外接圆问题

【题型解读】

【题型一　三角形中的外接圆问题】

1.（2022·全国·高三课时练习）在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，已知

A＝，b＝1，△ABC 的外接圆半径为 1，则△ABC 的面积 S＝________．

【答案】　　

【解析】由正弦定理＝＝2R，得 a＝，sinB＝，∵a>b，∴A>B，∴B＝，C＝，∴S△ABC＝××1

＝．

2.（2022·全国·高三专题练习）已知外接圆直径是，角，，所对的边分别为，，，满足

．

（1）求角；

（2）求的周长的最大值．

【答案】（1）；（2）

【解析】解：（1）由已知，

由正弦定理，

得，

由正弦定理角化边得，

则，又

所以；

（2）的周长

，

，，

即的周长的最大值为 .

3．（2022·全国高三单元测试）已知三角形两边长分别为 1和，第三边上的中线长为 1，

则三角形的外接圆半径为________．

【答案】1　

【解析】如图，AB＝1，BD＝1，BC＝，设 AD＝DC＝x，在△ABD 中，cos∠ADB＝＝，在

△BDC 中， cos∠BDC ＝＝， ∵ ∠ADB 与 ∠BDC 互补， ∴cos∠ADB ＝－cos∠BDC ， ∴＝

－，∴x＝1，∴∠A＝60°，由＝2R，得 R＝1．

4．（2022·合肥百花中学高三期末）已知△ABC 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若（2b﹣

c）cosA＝acosC．

（1）求角 A；

（2）若△ABC 的外接圆面积为 π，求△ABC 的面积的最大值．

【答案】（1）A（2）．

【解析】（1）∵（2b﹣c）cosA＝acosC，

∴由正弦定理可得：（2sinBsin﹣C）cosA＝sinAcosC，

可得：2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB，

∵sinB≠0，∴cosA，∵0＜A＜π，∴A，

（2）∵△ABC 的外接圆面积为 π，

∴△ABC 的外接圆半径为 1，∵ ，∴a，

∵由余弦定理可得 a2＝b2+c22﹣bccosA，

可得 3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，

∴bc≤3，当且仅当 b＝c等号成立，

∴S△ABC bcsinA，当且仅当 b＝c等号成立，

∴S△ABC 的最大值为．

5．（2022·全国高三课时练习）在外接圆半径为的 △ABC 中，a，b，c分别为内角

A，B，C的对边，且 2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C，则 b＋c的最大值是(　　)

A．1　　　　　　　　B．　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．

【答案】　A　

【解析】根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即 a2＝b2＋c2＋bc，又 a2＝b2＋c2－

2bccos A，所以 cos A＝－，A＝120°．因为△ABC 外接圆半径为，所以由正弦定理得 b＋c＝sin B·2R＋sin

C·2R＝sin B＋sin(60°－B)＝sin B＋cos B＝sin(B＋60°)，故当 B＝30°时，b＋c取得最大值 1．

6．（2022·山东潍坊高三期末）在① 的外接圆面积为 ② 的面积为，③ 的周长为

这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答.

问题：在中，内角，，的对边分别为，，，是边上一点已知，

，，若___________，求的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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