4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 34 4 459.85KB 9 页 3知币

侵权投诉

4.7 解三角形中的内切圆、外接圆问题

【题型解读】

【知识储备】

一．外接圆问题

过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆．其圆心叫做三角形的外心．

外接圆半径的计算：R＝＝＝．

外接圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝＝(R为△ABC 外接圆半径)．

二．内切圆问题

与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆．其圆心叫做三角形的内心．

内切圆半径与三角形面积的关系：S△ABC＝(a＋b＋c)·r(r为△ABC 内切圆半径)，并可由此计算 r．

【题型精讲】

【题型一　三角形中的外接圆问题】

例 1 （ 2022· 全国 · 高三课时练习）在 △ ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为

a，b，c．若△ABC 的面积为 S，且 a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC 外接圆的面积为(　　)

A．4π　　　　　　　　B．2π　　　　　　　　C．π　　　　　　　　D．

【答案】D　

【解析】由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1，所以 b2＋c2－1＝2bccosA，又 S＝

bcsinA

，

4S＝b2＋c2－1，所以 4×bcsinA＝2bccosA，即 sinA＝cosA，所以 A＝，由正弦定理

得，＝2R，得 R＝，所以△ABC 外接圆的面积为．

例2 （ 2022· 全国 ·高三专题练习）△ABC 的内角，，的对边分别为，，，且满足：

（1）求；

（2）若△ABC 面积为，外接圆直径为 4，求△ABC 的周长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

得，

∴.

（2）△ABC 的面积，

由正弦定理可知，

由，

则，∴△ABC 的周长为 .

【题型精练】

1．（2022·全国高三单元测试）在△ABC 中，D为边 AC 上一点，AB＝AC＝6，AD＝4，

若△ABC 的外心恰在线段 BD 上，则 BC＝_____．

【答案】3　

【答案】解法 1　如图 1，设△ABC 的外心为 O，连结 AO，则 AO 是∠BAC 的平分线，所

以＝＝，所以AO＝AB＋BO＝AB＋BD＝AB＋(AD－AB)，即AO＝AB＋AD，两边同时点

乘AB得AO·AB＝(AB)2＋AB·AD，即18＝×36＋×6×4cos∠BAC，所以 cos∠BAC＝，则BC

＝＝3．(说明：两边同时点乘AD也是一样的)

图1　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　　　图3

解法 2　如图 2，设∠BAC＝2α，外接圆的半径为 R，由S△ABO＋S△ADO＝S△ABD，得·6Rsinα＋

·4Rsinα＝·6·4sin2α，化简得 24cosα＝5R

．

在Rt△AFO 中，Rcosα＝3，联立解得 R＝，cosα

＝，所以 sinα＝，所以 BC＝2BE＝2ABsinα＝12×＝3．

解法 3　如图 3，延长 AO 交BC 于点 E，过点 D作BC 的垂线，垂足为 F，则＝＝，＝＝．

又DF∥AE，则＝＝，所以＝．设OE＝x，则AE＝5x，所以 OB＝OA＝4x，所以 BE＝x

．

又因为25x2＋15x2＝36，所以 x＝3，所以 BC＝2BE＝3．

2．（ 2022· 合肥百花中学高三期末）锐角 △ ABC 中，角所对的边分别为，若且

（1）求△ABC 的外接圆直径；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）1；（2）.

【解析】（1）因为，

由正弦定理可得，，

即，所以，

因为，故，

又，故，

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）.docx

共9页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

4.7解三角形中的内切圆、外接圆问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: