4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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4.6 解三角形中的中线、角平分线、高线问题

【题型解读】

【题型一　与中线有关的解三角形】

1.（2022·全国·高三课时练习）在锐角△ABC 中，内角，所对的边分别为 a，b，c，b＝

4，c＝6且asinB＝2，D为BC 的中点，则 AD 的长为________．

【答案】　

【解析】方法（向量法） 1　由正弦定理可得，又由

，可得，又由锐角 △，可得，由为的中点可得

，两边平方可得，即

．

方法 2　由正弦定理可得，又由，可得，

又由锐角 △，可得，在△中, 由余弦定理可得

，即，，

所以在△中，由余弦定理可得，即．

2. （ 2022· 全国 ·高三专题练习）已知的内角，，的对边分别为，，，且

．

（1）求；

（2）若，且边上的中线长为，求．

【答案】（1）

【解析】（1）因为，

由正弦定理可得，因为，

所以，可得，

因为，所以，可得，又因为，可得．

（2）由余弦定理可得，①

又在中，，

设的中点为，在中，，

可得，可得，②

由①②可得，解得．

3．（2022·全国高三单元测试）在△ABC 中，AB＝7，AC＝6，M是BC 的中点，AM＝

4，则 BC 等于________．

【答案】　

【解析】设BC＝a，则BM＝CM＝．在△ABM 中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AMcos∠AMB，

即72＝＋ 42－2××4·cos∠AMB ． ① ，在 △ ACM 中，AC2＝AM 2＋CM 2－

2AM·CM·cos∠AMC

，

即62＝42＋＋ 2×4×·cos∠AMB ． ② ， ① ＋ ② 得 72＋62＝42＋42

＋，∴a＝．

4．（2022·合肥百花中学高三期末）在△ABC 中，已知 AB＝，cos∠ABC＝，AC 边上的

中线 BD＝，则 sinA的值________．

【答案】　

【解析】如图所示，取BC 的中点 E，连接 DE，则DE∥AB，且DE＝AB＝．

∵cos∠ABC ＝，∴cos∠BED ＝－．设 BE ＝x，在△BDE 中，利用余弦定理，可得 BD2＝BE2＋ED2－

2BE·ED·cos∠BED，即5＝x2＋＋2××x．解得 x＝1或x＝－(舍去)，故BC＝2．在△ABC 中，利用余弦定理，

可得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝，即AC＝．又 sin∠ABC＝＝，∴＝，∴sin A＝．

5．（2022·全国高三课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，．

（1）求；

（2）若，，求边上的中线的长．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）由题意可得，

因为，所以，则，因为，所以．

（2）因为，所以．因为，

所以，

由正弦定理可得，则，

由余弦定理可得，

则．

6. （2022·山东济南期末）如图：在中，，，．

（1）求角；

（2）设为的中点，求中线的长．

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