4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 19 4 655.9KB 11 页 3知币

侵权投诉

4.6 解三角形中的中线、角平分线、高线问题

【题型解读】

【知识储备】

一．中线有关结论、方法

中线定理：一条中线两侧所对边的平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的 2倍．

即：如图，在中，为中点，则．

证明　在中，，在中，．

．

另外已知两边及其夹角也可表述为：．

证明　由，

⇒

，

．

二．角平分线有关结论、方法

角平分线定理：如图，在中，是的平分线，则．

证法 1　在中，，在中，，．

证法 2　该结论可以由两三角形面积之比得证，即．

三．高线有关结论、方法

高的性质：分别为边上的高，则

求高三般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度．

【题型精讲】

【题型一　与中线有关的解三角形】

必备技巧处理中线问题的三大技巧

1.直接用中线定理，2.向量法处理中线问题，3.过一顶点引平行线处理中线问题。

例 1 （2022·全国·高三课时练习）在△ABC 中，若 AB＝4，AC＝7，BC 边的中线 AD

＝，则 BC＝________．

【答案】　9　

【解析】（由中线定理直接可以秒杀）如图所示，延长 AD 到E，使 DE＝AD，连接

BE，EC．因为 AD 是BC 边上的中线，所以 AE 与BC 互相平分，所以四边形 ACEB 是平行

四边形，所以 BE＝AC＝7．又 AB＝4，AE＝2AD＝7，所以在△ABE 中，由余弦定理得，

AE2＝49＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos∠ABE＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠ABE．在△ABC 中，由

余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos(π－∠ABE)，∴49＋BC2＝2(AB2＋AC2)＝2(16＋

49)，∴BC2＝81，∴BC＝9．

例2 （ 2022· 全国 ·高三专题练习）已知中，角，，的对边分别为，，，且满足

，，

（1）求证：；

（2）若边上中线，求的面积．

【答案】（1）证明见解析；（1）6

【解析】（1）由正弦定理及，得

又，

所以

由，得，代入上式整理得 ,即，

所以

（2）由（1）知，由正弦定理得 ①

在中， ,

将①代入上式得，化简得

所以，

【题型精练】

1．（2022·全国高三单元测试）在△ABC 中，内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，

若tanC＝，a＝b＝，BC 边上的中点为 D，则 sin∠BAC＝________，AD＝________．

【答案】　　

【解析】因为 tan C＝，所以 sin C＝，cos C＝，又 a＝b＝，所以 c2＝a2＋b2－2abcos C＝13

＋13－2×××＝16，所以 c＝4．由＝，得＝，解得 sin∠BAC＝．因为 BC 边上的中点为

D，所以 CD＝，所以在△ACD 中，AD2＝b2＋2－2×b××cos C＝，所以 AD＝．

2．（ 2022· 合肥百花中学高三期末）已知在中，角，，的对边分别为，，，且

．

（1）求角的大小；

（2）若，为的中点，的面积为，求的长．

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）.docx

共11页,预览4页

还剩页未读，继续阅读

4.6解三角形中的中线、角平分线、高线问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: