4.5解三角形6大常考题型（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

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4.5 解三角形 6 大常考题型
【题型解读】
【知识必备】
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，R为△ABC 外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin
A
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形面积公式：
S△ABC＝ ah(h表示边 a上的高) ；
S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
3.解三角形多解情况
在△ABC 中，已知 a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个
数一解 两解 一解 一解 无解
4.实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B点的方位角为 α(如图②)．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角 θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
5.相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③合分比：
（2） 内角和定理：
①
同理有： ， .
② ；
③斜三角形中，
④ ；
⑤在 中，内角 成等差数列 .
【题型精讲】
【题型一　已知边角元素解三角形】
必备技巧 已知边角元素解三角形技巧
正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根
据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
例1 　（多选）（2022·山东济南一模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列
结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2（多选）（2022·重庆市育才中学高三二模）已知在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ，且 ， ， ，则下列说法正确的是
A． 或 B．
C． D．该三角形的面积为
例3（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测）在 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c若
，角 C为钝角， .
(1)求 的值；
(2)求边 c的长.
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