4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 14 4 680.13KB 14 页 3知币
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第四章 三角函数与解三角形
4.4.1 解三角形的实际应用（题型战法）
知识梳理
一 解三角形的最值问题
1.三角函数法：
在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问
题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作
方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性
即可求解出最值。
2.基本不等式法：
利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。
二 组合图形问题
1. 双-余弦定理
在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使
用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。
2. 双-正弦定理
在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使
用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。
三 中线、角平分线、垂线
1.中线：向量恒等式结论
2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理
3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）
四 解三角形的实际应用
1. 高度测量问题：仰角、俯角
2. 距离测量问题：方位角、方向角
题型战法
题型战法一 角、边的最值
典例 1．在 中，内角 对应的边分别为 ，若 且 为钝角.
（1）求角 与角 的关系；
（2）求 的取值范围.
变式 1-1．△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且 ．
(1)若 ，且 ，求△ABC 的面积；
(2)求 的最大值．
变式 1-2．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 的取值范围.
变式 1-3．已知 分别为 三个内角 的对边， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.
变式 1-4．在 中，内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c， ，
(1)求角 A；
(2)若 ，求 a的最小值.
题型战法二 周长的最值
典例 2．在△ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，其面积为 S，且
．
(1)求角 B的大小；
(2)若 ，求△ABC 周长的取值范围．
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