4.4.1解三角形的实际应用（题型战法）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

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第四章三角函数与解三角形

4.4.1 解三角形的实际应用（题型战法）

知识梳理

一解三角形的最值问题

1.三角函数法：

在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，这是求解三角最值问

题的最常用的方法。另外，在解三角形问题中，两大利器就是正弦定理和余弦定理，它们两个的基本操作

方法无非就是“角化边”或者“边化角”，将多元问题降元，转变成一元问题，再结合三角函数的有界性

即可求解出最值。

2.基本不等式法：

利用正弦定理或余弦定理，转化为二元问题，再利用基本不等式及其推论求解最值。

二组合图形问题

1. 双-余弦定理

在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中边长比较多可以尝试在两个三角形内分别使

用余弦定理，再根据其中一组角的关系将两个等式联立解方程。

2. 双-正弦定理

在由两个三角形拼接而成的组合图形中，如果条件中角度比较多可以尝试在两个三角形内分别使

用正弦定理，再将两式相除，带入条件进行求解。

三中线、角平分线、垂线

1.中线：向量恒等式结论

2.角平分线：等面积法（大三角形面积等于两小三角形面积之和）、角分线定理

3.垂线：等面积法（同一三角形求两次面积相等）

四解三角形的实际应用

1. 高度测量问题：仰角、俯角

2. 距离测量问题：方位角、方向角

题型战法

题型战法一角、边的最值

典例 1．在中，内角对应的边分别为，若且为钝角.

（1）求角与角的关系；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理的边角互化即可求解.

（2）由（1）可得，由，解得，再利

用三角函数的性质即可求解.

【详解】

∵ ，由正弦定理得，

∴.

∵B为钝角，∴A为锐角，

∴ ，

∴.

（2）

∵ ，∴ ，

∴ ，∴ ，

∴.

变式 1-1．△ABC 的内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c，且．

(1)若，且，求△ABC 的面积；

(2)求的最大值．

【答案】(1) ；

(2) .

【解析】

【分析】

（1）由余弦定理及已知可得，再应用三角形面积公式求面积即可.

（2）由题设有，根据已知及余弦定理有，再由正弦边角关系及和差角正弦公

式可得，即可得，进而求最值.

(1)

由，故，而，

所以，故 .

(2)

由，故，即，

由余弦定理知：，即，

所以，即，又，

故，

由，则或（舍），

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