4.4 数学归纳法-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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4.4　数学归纳法
【考点梳理】
考点一　数学归纳法
1．数学归纳法
一般地，证明一个与正整数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当
n
＝
n
0(
n
0∈ N *
) 时命题成立；
(2)(归纳递推)以当“
n
＝
k
(
k
∈N*，
k
≥
n
0)时命题成立”为条件，推出“当
n
＝
k
＋
1
时命题也成立”．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．
2．数学归纳法的证明形式
记
P
(
n
)是一个关于正整数
n
的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：(1)d
P
(
n
0)为真；(2)若
P
(
k
)
为真，则
P
(
k
＋
1)
也为真．
结论：
P
(
n
)
为真．
3. 数学归纳法中的两个步骤
在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当
n
＝
n
0
时结论成立，即命题
P
(
n
0) 为真 ；第二步是证明一种递推
关系，实际上是要证明一个新命题： 若
P
(
k
) 为真，则
P
(
k
＋ 1) 也为真． 只要将这两步交替使用，就有
P
(
n
0)真，
P
(
n
0＋ 1) 真……
P
(
k
)
真，
P
(
k
＋
1)
真……，从而完成证明．
【题型归纳】
题型一：数学归纳法证明恒等式
1．（2022·广西北海·高二期末（理））用数学归纳法证明： 的过程中，由
递推到 时等式左边增加的项数为（）
A．1 B．C．D．
2．（2021·全国·高二专题练习）已知 nN∈*，求证 1·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋
3)．
3．（2019·河南·南阳中学高二阶段练习（理））已知 ， ， 使等式
对 都成立，
（1）猜测 ， ， 的值；
（2）用数学归纳法证明你的结论.
题型二：数学归纳法证明整除问题
4．（2021·河南·高二阶段练习（理））用两种方法证明： 能被 49 整除．
5．（2018·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明：
(1) 能被 264 整除；
(2) 能被 整除（其中 n，a为正整数）
6．（2017·江苏南通·高二期中）用数学归纳法证明： （ ）能被 9整除.
题型三：数学归纳法证明数列问题
7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 中， ，其中 ，且 ．从条件①
与条件② ，且 中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求 ， ， ，并猜想 的通项公式 ；
(2)证明（1）中的猜想．
8．（2022·全国·高二课时练习）设数列 满足 ， ，且 ．
(1)计算 ， ，猜测 的通项公式，并加以证明．
(2)求证： ．
9．（2022·广西百色·高二期末（理））已知数列 的前 项和为 ，其中 且 .
(1)试求： ， 的值，并猜想数列 的通项公式 ；
(2)用数学归纳法加以证明.
题型四：数学归纳法证明不等式
10．（2021·全国·高二单元测试）在 1与2之间插入 个正数 ，使这 个数成等比数列；又在 1与
2之间插入 个正数 ，使这 个数成等差数列.记.
（1）求数列 和 的通项；
（2）当 时，比较 与 大小并证明结论.
11．（2019·山西吕梁·高二期末（理））给出下列不等式：
， ， ， ，
（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
12．（2019·江苏常州·高二期中（理））（1）是否存在实数 ，使得等式
对于一切正整数 都成立？若存在，求出 ， ， 的值并给出证明；若不存在，请说明理
由.
（2）求证：对任意的 ， .
【双基达标】
一、单选题
13．（2022·上海市松江区第四中学高二期中）已知 n为正偶数，用数学归纳法证：
时，若已假设 （ 且 k为偶数）时等式成立，则还需
要再证（）
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