4.3.1 等比数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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4.3.1　等比数列的概念
【考点梳理】
考点一　等比数列的概念
1．定义：一般地，如果一个数列从第 2
项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等
比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q表示(q≠0)．
2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1).
考点二　等比中项
如果在 a与b中间插入一个数 G，使 a，G，b成等比数列，那么 G叫做 a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
考点三　等比数列的通项公式
若等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，则 an＝a1q n
－
1
(n∈N*)．
考点四　等比数列通项公式的推广和变形
等比数列{an}的公比为 q，则
an＝a1q n
－
1
①＝amq n
－
m
②＝·q n
.③ 其中当②中 m＝1时，即化为①.当③中 q>0 且q≠1时，y＝·qx为指数型函数．
等比数列的应用及性质
考点五　实际应用题常见的数列模型
1．储蓄的复利公式：本金为 a元，每期利率为 r，存期为 n期，则本利和 y ＝a(1＋r)n.
2．总产值模型：基数为 N，平均增长率为 p，期数为 n，
则总产值 y ＝ N (1 ＋ p)n.
考点六　等比数列的常用性质
设数列{an}为等比数列，则：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ak· a l＝ a m· a n.
(2)若m，p，n成等差数列，则 am， a p， a n
成等比数列．
(3)在等比数列{an}中，连续取相邻 k项的和(或积)构成公比为 qk(或)的等比数列．
(4)若{an}是等比数列，公比为 q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是 q，，q2.
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为 pq
和.
【题型归纳】
题型一：等比数列中的基本运算
1．（2022·福建龙岩·高二期中）在等比数列 中，如果 ，那么 （ ）
A．40 B．36 C．54 D．128
2．（2022·湖南·长郡中学高二期中）在等比数列 中， ，若 、 、 成等差数列，则 的公
比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（文））数列 满足 ，且 ，则
（ ）
A．4 B．C．D．
题型二：等比中项的应用
4．（2022·陕西省商洛中学高二期末（理））已知 是公差不为零的等差数列， ，且 成等比
数列，则公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022·甘肃·敦煌中学高二期中）已知正项等比数列 ，满足 ，则 （ ）
A．B．C．D．
6．（2022·广西贵港·高二期末（理））已知 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数
列，则 （ ）
A．B．C．D．
题型三：等比数列的性质及其应用
7．（2022·甘肃·天水市田家炳中学高二阶段练习）已知等比数列 ，满足 ，且 ，
则数列 的公比为（ ）
A．2 B．4 C．D．
8．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二）等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A．20 B．15 C．8 D．
9．（2022·广东·顺德市李兆基中学高二期中）等比数列{ }中，已知 =8，+ =4，则 的
值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
题型四：等比数列子数列的性质
10．（2022·吉林白山·高二期末）已知等比数列 的公比 q为整数，且 ， ，则
（ ）
A．2 B．3 C．-2 D．-3
11．（2022·北京·人大附中高二期中）设 是等比数列，且 ， ，则 （ ）
A．12 B．2 C．30 D．32
12．（2022·河南·濮阳一高高二期中（文））在等比数列 中，已知 ， ，那么
等于（ ）
A．B．C．D．
题型五：等比数列的函数特征（单调性和最值）
13．（2022·辽宁·东北育才学校高二期中）设等比数列 的首项为 ，公比为 ，则 为递增数列的充要条件
是（ ）
A． ， B． ，
C．D．
14．（2022·安徽宿州·高二期中）已知等比数列 ，下列选项能判断 为递增数列的是( )
A． ， B． ，
C． ， D． ，
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