4.2三角函数恒等变换（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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4.2 三角函数恒等变换

【题型解读】

【知识必备】

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β　(S(α＋β))

sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β　(S(α－β))

cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β　(C(α＋β))

cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β　(C(α－β))

tan(α＋β)＝　(T(α＋β))

tan(α－β)＝　(T(α－β))

2．二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α (S2α)

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C2α)

tan 2α＝ (T2α)

3．公式的变形和逆用

在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．常见变形

如下：

降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

升幂公式：1＋cos 2α＝2 cos2α，1－cos 2α＝2sin2α

1＋cos α＝2cos2，1－cos α＝2sin2.

正切和差公式变形：

tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，

tan αtan β＝1－＝－1.

配方变形：1＋sin α＝(sin＋cos)2，

1－sin α＝(sin－cos)2.

4．辅助角公式

asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中 tan φ＝.

【题型精讲】

【题型一　两角和与差公式】

必备技巧两角和差公式常见题型及解法

(1)两特殊角和差的题型，利用两角和差公式直接展开求解．

(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和差公式求解．

(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和差，然后利用两角和差公式求解．

例1　（1）（2022·四川省岳池中学）（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】故选：A

（2）（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）（TTTTTTT）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

，由两角和的正弦公式，可知

故答案为：C

（3）（2022·四川凉山·高三期中） _________．

【答案】

【解析】由题意得：

由两角和的正切公式，可令

，可得

故答案为：

（4）（2022·山西应县一中高三期中）的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】由题意，得

，故选 A.

例2　（2022·江西省铜鼓中学高三期末）已知，，则的值

为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由，，

故选：B

例3　（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，，则

（）

A．B．C．D．

【答案】A

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