4.2.2 等差数列的前n项和公式-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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4.2.2　等差数列的前 n项和公式
【考点梳理】
考点一　等差数列的前 n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
求和公式 Sn＝Sn＝na1＋d
考点二　等差数列前 n项和的性质
1．若数列{an}是公差为 d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为.
2．设等差数列{an}的公差为 d，Sn为其前 n项和，则 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为 m 2
d .
3．若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)，S
偶－S奇＝nd，＝.
4．若等差数列{an}的项数为 2n＋1，则 S2n＋1＝(2n＋1)·an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝.
考点三　等差数列{an}的前 n项和公式的函数特征
1．公式 Sn＝na1＋可化成关于 n的表达式：Sn＝n2＋n.当d≠0时，Sn关于 n的表达式是一个常数项为零的二次函数
式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前 n项和公式是关于 n的二次函数，它的图象
是抛物线 y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．
2．等差数列前 n项和的最值
(1)在等差数列{an}中，
当a1>0，d<0 时，Sn有最大值，使 Sn取得最值的 n可由不等式组确定；
当a1<0，d>0 时，Sn有最小值，使 Sn取到最值的 n可由不等式组确定．
(2)Sn＝n2＋n，若 d≠0，则从二次函数的角度看：当 d>0 时，Sn有最小值；当 d<0 时，Sn有最大值．当 n取最接近
对称轴的正整数时，Sn取到最值．
大重难点规律总结：
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式和前 n项和公式中有五个量 a1，d，n，an 和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公
式列出基本量 a1 和d的方程组，解出 a1 和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想．
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q N*)∈，则 am＋an＝ap＋aq，常与求和公式 Sn＝结合使用．
(3)等差数列前 n项和 Sn 最大(小)值的情形
①若 a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值，即所有非负项之和．
②若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最小值，即所有非正项之和．
(2)求等差数列前 n项和 Sn 最值的方法
①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
或来寻找．
②运用二次函数求最值．
【题型归纳】
题型一：等差数列前 n项和的基本量计算
1．（2022·甘肃·宁县第二中学高二）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（　　）
A．120 B．60 C．160 D．80
2．（2020·山西大附中高二阶段练习）已知项数为 的等差数列 的前 项和为 ，最后 项和为 ，所有项
和为 ，则 （）
A．B．C．D．
3．（2022·江苏南京·高二阶段练习）已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，若 ，则 的值为
（）
A．60 B．120 C．180 D．260
题型二：等差数列片段和的性质
4．（2022·陕西咸阳·高二）等差数列 的前 n项和为 ，若 ， ，则 （）．
A．27 B．45 C．18 D．36
5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）在等差数列 中，其前 项和为 ，若 ，则
（）
A．B．C．D．
6．（2022·广东·惠来县第一中学）已知等差数列 的前 项和为 若 则 的值为
（）
A．18 B．17 C．16 D．15
题型三：等差数列前 n项和与 n的比值问题
7．（2022·全国·高二）等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则()
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高二）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则 （）
A．0 B．2018 C．D．2020
9．（2021·陕西·千阳县中学高二）在等差数列 中， ，其前 项的和为 ．若 ，
则
A．B．C．D．
题型四：两个等差数列前 n项和的比值问题
10．（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列 ， ，前 n项和分别是 ， ，且满足
，则 （）
A．B．C．D．
11．（2022·辽宁·沈阳市第五十六中学高二阶段练习）若等差数列 和 的前 项的和分别是 和 ，且
，则 （）
A．B．C．D．
12．（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列 和 的前 n项和分别为 和 ，且 ，则
（）
A．B．C．D．
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