4.2.1 等差数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

3.0 cande 2025-05-11 11 4 1.3MB 34 页 3知币

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4.2.1　等差数列的概念

【考点梳理】

考点一　等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第 2

项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，

这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d

表示，公差可正可负可为零．

考点二　等差中项的概念

由三个数 a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做 a与b的等差中项且 2A＝a＋b.

考点三　等差数列的通项公式

首项为 a1，公差为 d的等差数列{an}的通项公式 an＝a1＋ ( n － 1) d .

考点四　从函数角度认识等差数列{an}

若数列{an}是等差数列，首项为 a1，公差为 d，

则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．

(1)点(n，an)落在直线 y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为 d，在 y轴上的截距为 a1－ d ；

(2)这些点的横坐标每增加 1，函数值增加 d.

等差数列的性质

考点一　等差数列通项公式的变形及推广

设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，则

①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，

②an＝am＋( n － m ) d(m，n∈N*)，

③d＝(m，n∈N*，且 m≠n)．

其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线 y＝dx＋(a1－d)上．

②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求 a1.

③可用来由等差数列任两项求公差．

考点二　等差数列的性质

1．若{an}，{bn}分别是公差为 d，d′的等差数列，则有

数列结论

{c＋an}公差为 d的等差数列(c为任一常数)

{c·an}公差为 cd 的等差数列(c为任一常数)

{an＋an＋k}公差为 kd

的等差数列(k为常数，k∈N*)

{pan＋qbn}公差为 pd ＋ qd ′ 的等差数列(p，q为常数)

2.下标性质：在等差数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝ap＋ a q.

特别地，若 m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有 am＋an＝2 a p.

3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列．

4．等差数列{an}的公差为 d，则 d>0⇔{an}为递增数列；

d<0⇔{an}为递减数列；d＝0⇔{an}为常数列．

【题型归纳】

题型一：利用定义法求等差数列的通项公式

1．（2022·福建省龙岩第一中学高二）已知数列的前项和为，满足，，则

（）

A．B．C．D．

2．（2022·河南郑州·高二）设正数数列的前项和为，数列的前项积为，且，则

（）

A．B．C．D．

题型二：等差数列的通项公式基本量的计算

3．（2022·湖北·监利市教学研究室高二期末）已知数列满足，则满足的的最大取

值为（）

A．6 B．7 C．8 D．9

4．（2022·江苏盐城·高二期中）已知是等差数列，且，则（）

A．1 B．3 C．5 D．7

5．（2022·陕西·礼泉县第二中学高二阶段练习）在等差数列中，，，则

的值为（）

A．33 B．30 C．27 D．24

6．（2022·黑龙江实验中学高二阶段练习）等差数列的公差，数列的前项和，则

（）

A．， B．，

C．， D．，

题型三：等差中项及应用

7．（2022·河南平顶山·高二期末（文））已知数列是等差数列，且满足，则（）

A．B．C．D．

8．（2022·北京丰台·高二期中）在等差数列中，，则的值是（）

A．24 B．32 C．48 D．96

9．（2022·广东·佛山市第四中学高二阶段练习）已知等差数列的前三项分别为，，，则此数

列的第四项为（）

A．12 B．13 C．10 D．15

题型四：等差数列性质的应用

10．（2022·新疆·乌鲁木齐市高级中学高二期中）已知数列为等差数列，，则（）

A．8 B．12 C．15 D．24

11．（2022·重庆长寿·高二期末）在等差数列中，，则的值是（）

A．36 B．48 C．72 D．24

12．（2022·河南开封·高二期末（理））已知数列，都是等差数列，且，，则

（）

A．B．C．1 D．2

题型五：等差数列的应用

13．（2022·浙江·杭州市余杭中学高二期中）在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界．从冬至之日

起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差

数列，若冬至的日影长为 18.5 尺，立春的日影长为 15.5 尺，则春分的日影长为（）

A．9.5 尺B．10.5 尺C．11.5 尺D．12.5 尺

14．（2022·全国·高二）习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创

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