4.1三角函数概念和诱导公式（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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4.1 三角函数概念和诱导公式

【题型解读】

【题型一　扇形面积公式与弧度制】

1. （2022·安徽黄山市）若一扇形的圆心角为 144°，半径为 cm，则扇形的面积为______cm2．

【答案】．

【解析】扇形的圆心角为 144°，半径为，所以扇形的面积为．

故答案为：．

2．（2022·广东广东·一模）数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．

莱洛三角形的画法：先画等边三角形 ABC，再分别以点 A、B、C为圆心，线段 AB 长为半径画圆弧，便得

到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______．

【答案】

【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点

A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积

所以莱洛三角形的面积是 .故答案为：

3．（2022·浙江浙江·二模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：

“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为 30 步，其所

在圆的直径为 16 步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.

【答案】120

【解析】由题意得：扇形的弧长为 30，半径为 8，所以扇形的面积为：，

故答案为：120

4. （2022·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问

题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为 1，截面圆圆心为，

墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.

【答案】 ##

【解析】由题意可知，圆的半径为，即，

又，所以为正三角形，∴ ，

所以扇形的面积是 .

故答案为：

5. （2022·全国·模拟预测）炎炎夏日，在古代人们乘凉时习惯用的纸叠扇可看作是从一个圆面中剪下的扇

形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，扇形 ABC 的面积 S为，若，则当该纸

叠扇的周长 C最小时，BD 的长度为___________ .

【答案】

【解析】设扇形 ABC 的半径为 rcm，弧长为 lcm，则扇形面积 .

由题意得，所以 .

所以纸叠扇的周长，

当且仅当即，时，等号成立，

所以 .又，

所以，

故.

故答案为：

6. （2022·全国·高三专题练习）希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他

也研究数学．特别是与“月牙形”有关的问题．如图所示．阴影郭分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧

分别是的外接圆和以 AB 为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为

（）

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