4.1三角函数概念和诱导公式（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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4.1 三角函数概念和诱导公式

【题型解读】

【知识必备】

1．角的概念

(1)任意角：

①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．旋转开始的

射线叫做角的始边，旋转终止的射线叫做角的终边，射线的端点叫做角的顶点；

②角的分类：按照逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照逆时针方向旋转形成的角叫做俯角；如果一条

射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．

(2)所有与角 α终边相同的角，连同角 α在内，构成的角的集合是 S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

注意：终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍.

(3)象限角与轴线角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第

几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么这个角不属于任何一个象限，称之为

轴线角．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，这种用弧度作单位来度量角的单位制叫做

弧度制．弧度的单位符号是“rad”，读作“弧度”（用弧度制表示角时，rad 常常省略不写）．

如果半径为 r的圆的圆心角 α所对弧的长为 l，那么角 α的弧度数的绝对值是|α|＝.正角的弧度数是正数，负

角的弧度数是负数，零角的弧度数是 0.

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝ rad，1 rad＝°.

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝lr＝|α|·r2.

3．任意角的三角函数

（1）单位圆定义：任意角 α的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．

（2）比值式定义：设 P(x，y)是角 α终边上任意一点，且|OP|＝r(r＞0)，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝.它们

都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.

注意：三角函数的定义中，当 P(x，y)是单位圆上的点时有 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝，但若不是单位圆

时，设|OP|＝r，则 sin α＝，cos α＝，tan α＝.

（3）三角函数值在各象限的符号：

记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，即第一象限三个三角函数都是正值，第二象限正弦值

为正，其余两个为负值；第三象限正切值为正，其余两个为负值；第四象限余弦值为正值.

4．同角三角函数的基本关系

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：＝tan α.

5.诱导公式

角

函数

2kπ＋α

(k∈Z)

π＋α－απ－α－α＋α

正弦 sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α

余弦 cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α

正切 tan αtan α－tan α－tan α

口诀函数名不变

符号看象限

函数名改变

符号看象限

统一记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，

对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当 k为奇数

时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在 α的三角函数值

前面加上当 α为锐角时，原函数值的符号”．

【题型精讲】

【题型一　扇形面积公式与弧度制】

必备技巧扇形的弧长和面积的求解策略

(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是 S＝lR＝αR2(其中 l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心

角的弧度数，0<α<2π)．

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、

求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

例1　（2022·咸阳百灵学校高三月考）已知扇形周长是 60.

（1）当半径

=20，求扇形面积.

（2）当半径为何值时，扇形有最大面积？

（3）并求出最大面积和此时扇形的圆心角.

【答案】（1）；（2）；（3）， .

【解析】（1）设扇形所对应的圆心角为，由题意知，所以，因此扇形的面积为

；

（2）设扇形所对应的圆心角为，半径为，由题意知，即，则因此扇形的面积

为；根据二次函数的性质，当时，扇形的面积最大；

（ 3 ）由（ 2 ）知当时，扇形的面积最大，扇形的面积最大值为，此时

；

【跟踪精练】

1．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆

形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外

观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】设扇形的弧长为，半径为，圆心角的弧度数为，由题意得，变形可得

，因为，所以折扇所在扇形的圆心角的弧度数为．故选：A.

2．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为 4 cm，当它的半径为________ cm 和圆心角为________

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