4.1 数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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4.1　数列的概念
【考点梳理】
考点一　数列及其有关概念
1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个
位置上的数叫做这个数列的第 1
项，常用符号 a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 2
项，用 a2表示……，
第n
个位置上的数叫做这个数列的第 n
项，用 an表示．其中第 1项也叫做首项．
2. 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，…，an，…，简记为{ a n}．
考点二　数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数有限的数列
无穷数列 项数无限的数列
考点三　函数与数列的关系
数列{an}是从正整数集 N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集 R的函数，其自变量是序号 n，对应的函数值是
数列的第 n项an，记为 an＝f(n)．
考点四　数列的单调性
递增数列 从第 2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列 从第 2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列 各项都相等的数列
考点五　通项公式
1．如果数列{an}的第 n项an与它的序号
n
之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的
通项公式．
2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的
数的函数．
考点六　数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
考点七　数列的前 n项和 Sn与an的关系
重难点大规律归纳
1．把数列{an}从第 1项起到第 n项止的各项之和，称为数列{an}的前 n项和，记作 Sn，即 Sn＝a1＋ a 2＋ … ＋ a n.
2．an＝
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值
等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．
(2)可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式组找到数列的最小项．
【题型归纳】
题型一:数列的有关概念和分类
1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二）下列四个选项中，不正确的是（ ）
A．数列的图象是一群孤立的点
B．数列 1，0，1，0，…与数列 0，1，0，1，…是同一数列
C．数列 ， ， ， ，…的一个通项公式是
D．数列 ， ，…， 是递减数列
2．（2022·全国·高二）下面四个结论：
①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集 ）上的函数；
②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；
③数列的项数是无限的；
④数列通项的表达式是唯一的．
其中正确的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④
3．（2022·全国·高二）下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．同一数列的任意两项均不可能相同
B．数列 ， ， 与数列 ， ， 是同一个数列
C．数列 1，3，5，7可表示为
D．数列 2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列
题型二：判断或者写出数列的项
4．（2022·北京·高二期末）已知数列 的首项为 ，且满足 ，则此数列的第 3项是（ ）
A．4 B．12 C．24 D．32
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）若数列 的通项公式是 ，则
（ ）
A．B．C．15 D．16
6．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足
，若将这两个数列中相同的项按从小到大的顺序排列，组成新数列 ，则 （ ）
A．64 B．100 C．121 D．169
题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数
7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列 满足 ， 为正整数，则该数列的最大值是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列 满足 ，则数列 的最大项为
（ ）．
A．第 4项B．第 5项C．第 6项D．第 7项
9．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）已知数列 的通项公式为 ．若数列 的前 n项和
为 ，则 取得最大值时 n的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
题型四：由递推公式求数列的指定项
10．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知数列 满足 ， ，则 （ ）
A．B．C．D．
11．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列 满足 ，则 （ ）
A．B．C．D．
12．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列 满足 ， ，则 等于（ ）
A．B．C．2 D．
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