3.8极值点、拐点偏移问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 22 4 237.07KB 8 页 3知币

侵权投诉

3.8 极值点、拐点偏移问题

【题型解读】

【知识储备】

一、极值点偏移的含义

函数 f(x)满足内任意自变量 x都有 f(x)＝f(2m－x)，则函数 f(x)关于直线 x＝m对称．可以理解为函数 f(x)在对

称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 f(x)为单峰函数，则 x＝m必为 f(x)的极值点 x0，如图(1)所示，函数

f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点 x0，若 f(x)＝c的两根的中点则刚好满足＝x0，则极值点在两根的正中间，

也就是极值点没有偏移．

图(1)　　　　　　图(2)　　　　　　　　　　　　图(3)

若≠x0，则极值点偏移．若单峰函数 f(x)的极值点为 x0，且函数 f(x)满足定义域内 x＝m左侧的任意自变量 x

都有 f(x)>f(2m－x)或f(x)<f(2m－x)，则函数 f(x)极值点 x0左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数

f(x)定义域内任意不同的实数 x1，x2，满足 f(x1)＝f(x2)，则与极值点 x0必有确定的大小关系：若 x0<，则称为

极值点左偏；若 x0>，则称为极值点右偏．

二、极值点偏移问题的一般题设形式

(1)若函数 f(x)存在两个零点 x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数 f(x)的极值点）；

(2)若函数 f(x)定义域中存在 x1，x2且x1≠x2，满足 f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数 f(x)的极值点）；

(3)若函数 f(x)存在两个零点 x1，x2且x1≠x2，令 x0＝，求证：f(x0)＞0；

(4)若函数 f(x)定义域中存在 x1，x2且x1≠x2，满足 f(x1)＝f(x2)，令 x0＝，求证：f(x0)＞0．

三、极值点偏移问题的一般解法

1．对称化构造法

主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：

(1)定函数(极值点为 x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 x0．

(2)构造函数，即对结论 x1＋x2>2x0型，构造函数 F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；对结论

x1x2>x型，构造函数 F(x)＝f(x)－f，通过研究 F(x)的单调性获得不等式．

(3)判断单调性，即利用导数讨论 F(x)的单调性．

(4)比较大小，即判断函数 F(x)在某段区间上的正负，并得出 f(x)与f(2x0－x)的大小关系．

(5)转化，即利用函数 f(x)的单调性，将 f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为 x与2x0－x之间的关系，进而得到

所证或所求．

若要证明 f′的符号问题，还需进一步讨论与 x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

2．比(差)值代换法

比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值

点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用 t表示)表示两个极值点，即

t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 t的函数问题求解．

3．对数均值不等式法

两个正数和的对数平均定义：

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式）

取等条件：当且仅当时，等号成立．

只证：当时，．不失一般性，可设．证明如下：

(1)先证：　　　　①

不等式①

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递减，

故，从而不等式①成立；

(2)再证：　　　　②

不等式②

构造函数，则．

因为时，，所以函数在上单调递增，

故，从而不等式②成立；

综合(1)(2)知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成

立．

【题型精讲】

【题型一　极值点偏移解法赏析】

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 f(x)＝xe－x(x∈R)．

(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；

(2)若x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数 f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x．

(1)讨论 f(x)的单调性；

(2)设f(x)的两个零点是 x1，x2，求证：f′<0．

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

3.8极值点、拐点偏移问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）.docx

共8页,预览3页

还剩页未读，继续阅读

3.8极值点、拐点偏移问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: