3.8极值点、拐点偏移问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 14 4 821.7KB 16 页 3知币
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3.8 极值点、拐点偏移问题
【题型解读】
【知识储备】
一、极值点偏移的含义
函数 f(x)满足内任意自变量 x都有 f(x)＝f(2m－x)，则函数 f(x)关于直线 x＝m对称．可以理解为函数 f(x)在对
称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 f(x)为单峰函数，则 x＝m必为 f(x)的极值点 x0，如图(1)所示，函数
f(x)图象的顶点的横坐标就是极值点 x0，若 f(x)＝c的两根的中点则刚好满足＝x0，则极值点在两根的正中间，
也就是极值点没有偏移．
　　　　 　　　　
图(1)　　　 　　　图(2)　　　　 　　　　　　　　图(3)
若≠x0，则极值点偏移．若单峰函数 f(x)的极值点为 x0，且函数 f(x)满足定义域内 x＝m左侧的任意自变量 x
都有 f(x)>f(2m－x)或f(x)<f(2m－x)，则函数 f(x)极值点 x0左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数
f(x)定义域内任意不同的实数 x1，x2，满足 f(x1)＝f(x2)，则与极值点 x0必有确定的大小关系：若 x0<，则称为
极值点左偏；若 x0>，则称为极值点右偏．
二、极值点偏移问题的一般题设形式
(1)若函数 f(x)存在两个零点 x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数 f(x)的极值点）；
(2)若函数 f(x)定义域中存在 x1，x2且x1≠x2，满足 f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2＞2x0（x0为函数 f(x)的极值点）；
(3)若函数 f(x)存在两个零点 x1，x2且x1≠x2，令 x0＝，求证：f(x0)＞0；
(4)若函数 f(x)定义域中存在 x1，x2且x1≠x2，满足 f(x1)＝f(x2)，令 x0＝，求证：f(x0)＞0．
三、极值点偏移问题的一般解法
1．对称化构造法
主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为 x0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 x0．
(2)构造函数，即对结论 x1＋x2>2x0型，构造函数 F(x)＝f(x)－f(2x0－x)或F(x)＝f(x0＋x)－f(x0－x)；对结论
x1x2>x型，构造函数 F(x)＝f(x)－f，通过研究 F(x)的单调性获得不等式．
(3)判断单调性，即利用导数讨论 F(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数 F(x)在某段区间上的正负，并得出 f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
(5)转化，即利用函数 f(x)的单调性，将 f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为 x与2x0－x之间的关系，进而得到
所证或所求．
若要证明 f′的符号问题，还需进一步讨论与 x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
2．比(差)值代换法
比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值
点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用 t表示)表示两个极值点，即
t＝，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于 t的函数问题求解．
3．对数均值不等式法
两个正数 和 的对数平均定义：
对数平均与算术平均、几何平均的大小关系： （此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当 时，等号成立．
只证：当 时， ．不失一般性，可设 ．证明如下：
(1)先证： 　　　　①
不等式①
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递减，
故 ，从而不等式①成立；
(2)再证： 　　　　②
不等式②
构造函数 ，则 ．
因为 时， ，所以函数 在 上单调递增，
故 ，从而不等式②成立；
综合(1)(2)知，对 ，都有对数平均不等式 成立，当且仅当 时，等号成
立．
【题型精讲】
【题型一　极值点偏移解法赏析】
例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 f(x)＝xe－x(x∈R)．
(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；
(2)若x1≠x2，且 f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2．
【解析】　(1)f′(x)＝e－x(1－x)，令 f′(x)>0 得x<1；令 f′(x)<0 得x>1，
∴函数 f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴f(x)有极大值 f(1)＝，f(x)无极小值．
x
y
x
1
+
x
2
x
2
x
1
f
x
( )
=
x
∙
e
x
1
e
1
O
(2)方法一　(对称化构造法)
欲证 x1＋x2>2，即证 x1>2－x2，由(1)可设 0<x1<1<x2，故 x1，2－x2∈(0，1)，
又因为 f(x)在(0，1)上单调递增，故只需证 f(x1)>f(2－x2)，又因为 f(x1)＝f(x2)，
故也即证 f(x2)>f(2－x2)，构造函数 F(x)＝f(x)－f(2－x)，x∈(1，＋∞)，
则等价于证明 F(x)>0 对x∈(1，＋∞)恒成立．
由F′(x)＝f′(x)＋f′(2－x)＝e－x(1－x)＋ex－2(x－1)＝(x－1)(ex－2－e－x)，
∵当x>1 时，x－1>0，ex－2－e－x>0，∴F′(x)>0，
则F(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以 F(x)>F(1)>0，
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