3.7利用导数研究函数零点（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 14 4 98.09KB 5 页 3知币

3.7 利用导数研究函数零点

【题型解读】

【知识储备】

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．

对于两个函数的选择，有 3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的

情况最为常见．

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数

的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的

单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．

1．下凸函数定义

设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有

，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数．

2．上凸函数定义

设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有

，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数．

【题型精讲】

【题型一　零点的个数问题】

方法技巧零点的个数问题

讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点

存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求 f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数 f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0.

(1)讨论函数 f(x)的单调性；

(2)当x∈时，试判断函数 g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数．

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