3.7利用导数研究函数零点（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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3.7 利用导数研究函数零点

【题型解读】

【知识储备】

对于函数零点问题，其解题策略一般是转化为两个函数图象的交点．

对于两个函数的选择，有 3种情况：一平一曲，一斜一曲，两曲（凸性一般要相反）．其中以一平一曲的

情况最为常见．

分离参数法是处理零点问题的常见方法，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目直接考虑函数

的图象与轴的交点情况，其本质是选择一平一曲两个函数；部分题目利用零点存在性定理并结合函数的

单调性处理零点，其本质是选择一平一曲两个函数．

1．下凸函数定义

设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有

，当且仅当时取等号，则称为上的下凸函数．

2．上凸函数定义

设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，，总有

，当且仅当时取等号，则称为上的上凸函数．

【题型精讲】

【题型一　零点的个数问题】

方法技巧零点的个数问题

讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点

存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求 f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

【解析】　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3．令 f′(x)＝0解得 x＝3－2或x＝3＋2.

当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当 x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.

故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减．

(2)由于 x2＋x＋1>0，所以 f(x)＝0等价于－3a＝0.

设g(x)＝－3a，则 g′(x)＝≥0，仅当 x＝0时g′(x)＝0，

所以 g(x)在(－∞，＋∞)单调递增．故 g(x)至多有一个零点，

从而 f(x)至多有一个零点．又 f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，

故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数 f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0.

(1)讨论函数 f(x)的单调性；

(2)当x∈时，试判断函数 g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数．

【解析】　(1)f′(x)＝(x>0)，当 a<0 时，f′(x)>0 恒成立，∴函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当a>0 时，由 f′(x)>0，得 x>；由 f′(x)<0，得 0<x<，

∴函数 f(x)在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当 a<0 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当 a>0 时，函数 f(x)在上单调递增，

在上单调递减．

(2)∵当x∈时，函数 g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点，

即当 x∈时，方程(ln x－1)ex＋x＝m的根．

令h(x)＝(ln x－1)ex＋x，则 h′(x)＝ex＋1.

由(1)知当 a＝1时，f(x)＝ln x＋－1在上单调递减，在(1，e)上单调递增，

∴当x∈时，f(x)≥f(1)＝0．∴＋ln x－1≥0 在x∈上恒成立．

∴h′(x)＝ex＋1≥0＋1>0，∴h(x)＝(ln x－1)ex＋x在x∈上单调递增．

∴h(x)min＝h＝－2e ＋，h(x)max＝e.

∴当m<－2e ＋或 m>e 时，函数 g(x)在上没有零点；

当－2e ＋≤m≤e 时，函数 g(x)在上有且只有一个零点．

2. （2022·山东济南高三期末）已知函数 f(x)＝－x3＋ax－，g(x)＝ex－e(e 为自然对数的底数)．

(1)若曲线 y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与曲线 y＝g(x)在(0，g(0))处的切线互相垂直，求实数 a的值；

(2)设函数 h(x)＝试讨论函数 h(x)零点的个数．

[解析]　 (1)f′(x)＝－3x2＋a，g′(x)＝ex，所以 f′(0)＝a，g′(0)＝1，由题意，知 a＝－1．

(2)易知函数 g(x)＝ex－e在R上单调递增，仅在 x＝1处有一个零点，且 x<1 时，g(x)<0，

又f′(x)＝－3x2＋a，

①当a≤0 时，f′(x)≤0，f(x)在R上单调递减，且过点，f(－1)＝－a>0，

即f(x)在x≤0 时必有一个零点，此时 y＝h(x)有两个零点；

②当a>0 时，令 f′(x)＝－3x2＋a＝0，得两根为 x1＝－<0，x2＝>0，

则－是函数 f(x)的一个极小值点，是函数 f(x)的一个极大值点，

而f＝－3＋a－＝－－<0．

现在讨论极大值的情况：

f＝－3＋a－＝－，当 f<0，即 a<时，

函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上恒小于零，此时 y＝h(x)有两个零点；

当f＝0，即 a＝时，函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上有一个零点 x0＝＝，

此时 y＝h(x)有三个零点；

当f>0，即 a>时，函数 y＝f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，一个零点小于，一个零点大于，

若f(1)＝a－<0，即 a<时，y＝h(x)有四个零点；

若f(1)＝a－＝0，即 a＝时，y＝h(x)有三个零点；

若f(1)＝a－>0，即 a>时，y＝h(x)有两个零点．

综上所述：当 a<或a>时，y＝h(x)有两个零点；当 a＝或 a＝时，y＝h(x)有三个零点；当<a<时，

y＝h(x)有四个零点．

【题型二　已知函数零点求参】

方法技巧利用函数零点的情况求参数范围的方法

(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为 y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线 y＝a与y＝g(x)的图象的

交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解

例2　（2022·山东青岛高三期末）已知函数 f (x)＝ln x－ax2＋x，a∈R．

(1)当a＝0时，求曲线 y＝f (x)在点(e，f (e))处的切线方程；

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