3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 15 4 78.53KB 6 页 3知币

3.6 利用导数研究不等式恒(能)成立问题

【题型解读】

【题型一　端点效应处理不等式求参】

1.（2022·山东济南历城二中高三月考）设函数 f(x)＝xln x－ax2＋(b－1)x，g(x)＝ex－ex．

(1)当b＝0时，函数 f(x)有两个极值点，求 a的取值范围；

(2)若y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x轴平行，且函数 h(x)＝f(x)＋g(x)在x∈(1，＋∞)时，其图象上每一点

处切线的倾斜角均为锐角，求 a的取值范围．

2．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数 f(x)＝lnx(ax＋1－a)(a＞0)．

(1)当a＝时，设 g(x)＝f(x)－x＋1，讨论 g(x)的导函数 g′(x)的单调性；

(2)当x＞1时，f(x)＞x－1，求 a的取值范围．

3. （2022·山东济南高三期末）已知函数 f(x)＝axln(x＋1)＋x＋1(x>－1，a∈R)．

(1)若a＝，求函数 f(x)的单调区间；

(2)当x≥0 时，f(x)≤ex恒成立，求实数 a的取值范围．

【题型二　分离参数法处理不等式求参】

1.（2022·山东青岛高三期末）已知函数 f(x)＝ex(ax2＋x＋a)(a≥0)．

(1)求函数 f(x)的单调区间；

(2)若函数 f(x)≤ex(ax2＋2x)＋1恒成立，求实数 a的取值范围．

2．（2022·天津市南开中学月考）已知函数 f(x)＝(x－1)ex－ax2(e 是自然对数的底数)．

(1)讨论函数 f(x)的极值点的个数，并说明理由；

(2)若对任意的 x>0，f(x)＋ex≥x3＋x，求实数 a的取值范围．

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