3.6利用导数研究不等式恒(能)成立问题（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

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3.6 利用导数研究不等式恒(能)成立问题

【题型解读】

【知识储备】

1.恒成立与能成立问题的解决策略大致分四类：

①构造函数，分类讨论；

②部分分离，化为切线；

③完全分离，函数最值；

④换元分离，简化运算；

在求解过程中，力求“脑中有‘形’，心中有‘数’”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找

临界.

一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等

式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综

合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热

点．

【题型精讲】

【题型一　端点效应处理不等式求参】

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 f(x)＝ex－x2－ax－1，g(x)＝cosx＋x2－1．

(1)当a＝1时，求证：当 x≥0 时，f(x)≥0；

(2)若f(x)＋g(x)≥0 在[0，＋∞)上恒成立，求 a的取值范围．

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）设函数 f(x)＝(1－x2)ex．

(1)讨论 f(x)的单调性；

(2)当x≥0 时，f(x)≤ax＋1，求实数 a的取值范围．

2. （2022·山东济南高三期末）设函数 f (x)＝(1＋x－x2)ex(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．

(1)讨论 f (x)的单调性；

(2)当x≥0 时，f (x)≤ax＋1＋2x2恒成立，求实数 a的取值范围．

【题型二　分离参数法处理不等式求参】

方法技巧分离参数法解决恒(能)成立问题的策略

(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．

(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；

a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min；

a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min；

a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max.

例2　（2022·山东青岛高三期末）已知 f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2．

(1)求函数 f(x)的单调区间；

(2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数 a的取值范围．

【题型精练】

1．（2022·天津市南开中学月考）已知函数 f(x)＝ex＋ax2－x．

(1)当a＝1时，讨论 f(x)的单调性；

(2)当x≥0 时，f(x)≥x3＋1，求 a的取值范围．

2. （2022·安徽省江淮名校期末）已知函数 f(x)＝ex－xlnx，g(x)＝ex－tx2＋x，t∈R，其中 e为自然对数的

底数．

(1)求函数 f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若g(x)≥f(x)对任意的 x∈(0，＋∞)恒成立，求 t的取值范围．

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