3.5利用导数证明不等式（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（原卷版）

3.0 cande 2025-05-11 23 4 133.45KB 5 页 3知币

3.5 利用导数证明不等式

【题型解读】

【题型一　构造单函数证明不等式】

1.（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 g(x)＝x3＋ax2.

(1)若函数 g(x)在[1,3]上为单调函数，求 a的取值范围；

(2)已知 a>－1，x>0，求证：g(x)>x2ln x.

2．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一

个公共点是 A(1,1)，且在点 A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当 x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

【题型二　构造双函数比较最值证明不等式】

1.（2022·山东青岛高三期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为

．

（1）求、的值；

（2）证明：当，且时，．

2．（2022·天津市南开中学月考）已知函数 f(x)＝(m∈R)．

(1)求函数 f(x)的单调区间；

(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋ln x)＋＞f(x)－xf(1)．

【题型三　放缩法证明不等式】

1.（2022·河南高三期末）已知函数 f(x)＝lnx－a2x2＋ax．

(1)试讨论 f(x)的单调性；

(2)若a＝1，求证：当 x>0 时，f(x)<e2x－x2－2．

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