3.5利用导数证明不等式（精练）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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3.5 利用导数证明不等式

【题型解读】

【题型一　构造单函数证明不等式】

1.（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 g(x)＝x3＋ax2.

(1)若函数 g(x)在[1,3]上为单调函数，求 a的取值范围；

(2)已知 a>－1，x>0，求证：g(x)>x2ln x.

【解析】(1)由题意知，函数 g(x)＝x3＋ax2，

则g′(x)＝3x2＋2ax，

若g(x)在[1,3]上单调递增，

则g′(x)＝3x2＋2ax≥0在[1,3]上恒成立，

则a≥－；

若g(x)在[1,3]上单调递减，

则g′(x)＝3x2＋2ax≤0在[1,3]上恒成立，

则a≤－.所以 a的取值范围是∪.

(2)由题意得，要证 g(x)>x2ln x，x>0，

即证 x3＋ax2>x2ln x，即证 x＋a>ln x，

令u(x)＝x＋a－ln x，x>0，

可得 u′(x)＝1－＝，x>0，

当0<x<1 时，u′(x)<0，函数 u(x)单调递减；

当x>1 时，u′(x)>0，函数 u(x)单调递增．

所以 u(x)≥u(1)＝1＋a，

因为 a>－1，所以 u(x)>0，

故当 a>－1时，对于任意 x>0，g(x)>x2ln x.

2．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数 f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一

个公共点是 A(1,1)，且在点 A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

(2)证明：当 x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

【解析】(1)因为 f(x)＝1－，x>0，

所以 f′(x)＝，f′(1)＝－1.

因为 g(x)＝＋－bx，

所以 g′(x)＝－－－b.

因为曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)的一个公共点是 A(1,1)，且在点 A处的切线互相垂直，

所以 g(1)＝1，且 f′(1)·g′(1)＝－1，

所以 g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，

解得 a＝－1，b＝－1.

(2)由(1)知，g(x)＝－＋＋x，

则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0.

令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，

则h(1)＝0，

h′(x)＝＋＋＋1＝＋＋1.

因为 x≥1，所以 h′(x)＝＋＋1>0，

所以 h(x)在[1，＋∞)上单调递增，

所以当 x≥1时，h(x)≥h(1)＝0，

即1－－－＋x≥0，

所以当 x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

【题型二　构造双函数比较最值证明不等式】

1.（2022·山东青岛高三期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为

．

（1）求、的值；

（2）证明：当，且时，．

【解析】（1）．由于直线的斜率为，且过点，所以

，即，解得，．

【证明】（2）由（1）知，所以

．构造函数（），则

，于是在上递减．

当时，递减，所以，于是；当时，递减，所以

，于是．

综上所述，当，且时，．

2．（2022·天津市南开中学月考）已知函数 f(x)＝(m∈R)．

(1)求函数 f(x)的单调区间；

(2)当m＝0时，证明：∀x＞0，ex2(1＋ln x)＋＞f(x)－xf(1)．

【解析】(1)函数 f(x)的定义域为 R，f′(x)＝＝

＝＝－，令 f′(x)＝0，解得 x1＝1，x2＝1－m．

①当m＜0时，1＜1－m．故 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减；x∈(1，1－m)时，f′(x)＞0，函

数f(x)单调递增；x∈(1－m，＋∞)时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减．②当m＝0时，1＝1－m，f′(x)≤0 恒成

立，函数 f(x)在R上单调递减．

③当m＞0时，1＞1－m，故 x∈(－∞，1－m)时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减；x∈(1－m，1)时，f′(x)＞0，

函数 f(x)单调递增；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数 f(x)单调递减．

综上，当 m＜0时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，(1－m，＋∞)，单调递增区间为(1，1－m)；当 m

＝0时，函数 f(x)的单调递减区间为 R，无单调递增区间；当 m＞0时，函数 f(x)的单调递减区间为(－∞，1

－m)，(1，＋∞)，单调递增区间为(1－m，1)．

(2)当m＝0时，f(x)＝．则所证不等式为 ex2(1＋ln x)＋＞－，

即ex2(1＋ln x)＞－，因为 x＞0，所以所证不等式等价于 ex(1＋ln x)＞－．

记函数 g(x)＝e(x＋xln x)，h(x)＝－(x＞0)．则 g′(x)＝e(2＋ln x)，

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