3.5利用导数证明不等式（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

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3.5 利用导数证明不等式

【题型解读】

【知识储备】

1.导数证明不等式方法：

（1）构造单函数求最值证明不等式；

（2）构造双函数比较最值证明不等式；

（3）参变分离转化为具体函数最值证明不等式；

（4）不等式放缩证明不等式；

（5）双变量不等式证明转化为单变量不等式证明。

2.常用不等式的生成

在不等式“改造”或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有

关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生

成．

（1）生成一：利用曲线的切线进行放缩

设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即

由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．

特别地，当时，有；当时，有．

设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由

此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特

别地，当时，有；当时，有．

利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数．

生成二：利用曲线的相切曲线进行放缩

由图可得；由图可得；由图可得，（），

（）；由图可得，（），（）．

综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式：

与有关的常用不等式：

（1）（）；

（2）（）．

与有关的常用不等式：

（1）（）；

（2）（）；

（3）（），（）；

（4）（），（）．

用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式．

【题型精讲】

【题型一　构造单函数证明不等式】

方法技巧构造单函数证明不等式

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造 “左减右”的函数，有时对复杂的式子要进

行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证．

例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.

(1)讨论 f(x)的单调性；

(2)当a<0 时，证明 f(x)≤－－2.

【解析】(1)f′(x)＝＝.

当a≥0时，f′(x)≥0，则 f(x)在(0，＋∞)单调递增．

若a<0，则 f(x)在单调递增，在单调递减．

(2)第一次构造辅助函数 g(x)＝f(x)＋＋2.

要证原不等式成立，需证 g(x)max≤0，即证 f(x)max＋＋2≤0.

由(1)知，当 a<0 时，f(x)max＝f.即证 ln＋＋1≤0

不妨设 t＝－>0，则证 ln t－t＋1≤0，令 h(t)＝ln t－t＋1，求导得 h′(t)＝－1.

h′(t)>0 时，t∈(0,1)；h′(t)<0 时，t∈(1，＋∞)．

所以 h(t)在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减，则 h(t)max＝h(1)＝0.故f(x)≤－－2.

【题型精练】

1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数，曲线在点处的切线方程为

．

（1）求、的值；

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