3.3导数研究函数的极值、最值（精讲）-【题型·技巧培优系列】备战2023年高考数学大一轮复习精讲精练（新高考地区）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 36 4 898.9KB 18 页 3知币
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3.3 导数研究函数的极值、最值
【题型解读】
【知识储备】
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数 y＝f(x)在点 x＝a的函数值 f(a)比它在点 x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点 x＝a附
近的左侧 f′(x)＜0，右侧 f′(x)＞0，则点 a叫做函数 y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数 y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数 y＝f(x)在点 x＝b的函数值 f(b)比它在点 x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b附
近的左侧 f′(x)＞0，右侧 f′(x)＜0，则点 b叫做函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数 y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上
单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
（1）若函数 f(x)的图象连续不断，则 f(x)在[a，b]上一定有最值．
（2）若函数 f(x)在[a，b]上是单调函数，则 f(x)一定在区间端点处取得最值．
（3）若函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
【题型精讲】
【题型一　求函数的极值】
必备技巧 求具体函数 极值的步骤
①确定函数的定义域；
②求导数 ；
③解方程 ，求出函数定义域内的所有根；
④列表检验在 的根 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么 在 处取极大值，如果左负
右正，那么 在 处取极小值．
例1　（2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数 在 与 时，都取得极
值．
(1)求 ， 的值；
(2)若 ，求 的单调增区间和极值．
【答案】(1) ，
(2)函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，函数的极大值是 ，
函数的极小值是 .
【解析】(1)
，由条件可知 和 ，
即 ，解得： ， ，
所以 ，
检验：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
经检验 与 时，都取得极值，满足条件，所以 ， ；
(2) ，解得： ，
所以
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
有表可知，函数的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是
，函数的极大值是 ，函数的极小值是 .
例2　（2022·河南高三月考）已知函数 ，求函数 的极大值与极
小值．
【解析】：由题设知 a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax .
令f′(x)＝0得x＝0或.
当a>0 时，随着 x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x(－
∞，0) 0 (0，) (，＋∞)
f′(x)＋0－0＋
f(x)↗
极
大值 ↘
极
小值 ↗
∴f(x)极大值＝f(0)＝1－，f(x)极小值＝ ＝－－＋1.
当a<0 时，随着 x的变化，f′(x)与f(x)的变化情况如下：
x(－∞，) (，0) 0 (0，＋
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