3.3.2导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）-【创奇迹·精品系列】备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练（新高考专用）（解析版）

3.0 cande 2025-05-11 17 4 2.29MB 54 页 3知币
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第三章 导数
3.3.2 导数的恒能成立问题、零点问题、不等式证明问题（针对练习）
针对练习
针对练习一 利用导数处理恒成立问题
1．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 在 上恒成立，求实数 a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求导得 ，然后分情况讨论即可通过导函数的正负确定 的单调性. （2）
将问题先转化为 在 上恒成立.
，构造函数 ， ，对 进行分情况讨论，求 的最小值，即可
求解.
(1)
的定义域是 ， .
①当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 或 （舍），令 ，解得 ，令
，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ， ，
则.
当 时， ， ，不符合题意；
当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，又 ，所以
，不符合题意；
当 时，若 ，即 ， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，又
，所以 在 上恒成立，符合题意.
若 ，即 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以
在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，不符合题意；
若 ，即 ， 在 上恒成立，所以 在 上单调递减，又 ，
所以 ，不符合题意.综上所述，实数 a的取值范围是 .
2．已知函数 ．
(1)求函数 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)极大值为 ；极小值为 .
(2) .
【解析】
【分析】
（1）由 可得极值点为 或 ，代入即可求得极值；
（2）参变分离变形 可得 ，令 ，只要 即可.
(1)
根据题意 ，
由 ，
令 可得 或 ，
或 时， ，
时， ，
所以 的递增区间为 ，
递减区间为 ，
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